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#+TITLE: 幾何原本
#+DATE: 2015-08-24 23:11:01.912583
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#+PROPERTY: BASEEDITION WYG    
#+PROPERTY: JUAN 提要
<pb:KR3f0047_WYG_000-1a>
欽定四庫全書　　　　　子部六
　幾何原本　　　　　　　天文算法類二(算書之/屬)
　　提要
　　　　(臣/)等謹案幾何原本六卷西洋歐几里得撰
　　　　利瑪竇譯而徐光啓所筆受也歐几里得未
　　　　詳何時人其原書十三卷五百餘題利瑪竇
　　　　之師丁氏為之集解又續補二卷於後共為
　　　　十五卷今止六卷者徐光啓自謂譯受是書
<pb:KR3f0047_WYG_000-1b>
　　　　此其最要者也其書每卷有界説有公論有
　　　　設題界説者先取所用名目解説之公論者
　　　　舉其不可疑之理設題則據所欲言之理次
　　　　第設之先其易者次其難者由淺而深由簡
　　　　而繁推之至於無以復加而後已又每題有
　　　　法有解有論有系法言題用解述題意論則
　　　　發明其所以然之理系則又有旁通者焉卷
　　　　一論三角形卷二論線卷三論圓卷四論圓
<pb:KR3f0047_WYG_000-2a>
　　　　内外形卷五卷六俱論比例其餘三角方圓
　　　　邊線面積體積比例變化相生之義無不曲
　　　　折盡顯纎㣲畢露光啓序稱其窮方圓平直
　　　　之情盡規矩準繩之用非虚語也且此為歐
　　　　邏巴算學専書前作後述不絶於世至歐几
　　　　里得而為是書盖亦集諸家之成故自始至
　　　　終毫無疵纇加以光啓反覆推闡其文句尤
　　　　為明顯以是弁冕西術不為過矣乾隆四十
<pb:KR3f0047_WYG_000-2b>
　　　　六年十二月恭校上
　　　　　　　總纂官(臣/)紀昀(臣/)陸錫熊(臣/)孫士毅
　　　　　　　總　校　官　(臣/)　陸　費　墀
#+PROPERTY: JUAN 序
<pb:KR3f0047_WYG_000-3a>
幾何原本序
唐虞之世自羲和治厯暨司空后稷工虞典樂五官者
非度數不為功周官六藝數與㞐一焉而五藝者不以
度數從事亦不得工也襄曠之於音般墨之於械豈有
他謬巧哉精于用法爾已故嘗謂三代而上為此業者
盛有元元本本師傅曹習之學而畢喪於祖龍之𦦨漢
以來多任意揣摩如盲人射的虚發無效或依儗形似
如持螢燭象得首失尾至於今而此道盡廢有不得不
<pb:KR3f0047_WYG_000-3b>
廢者矣幾何原本者度數之宗所以窮方圓平直之情
盡規矩準繩之用也利先生從少年時論道之暇留意
藝學且此業在波中所謂師傅曹習者其師丁氏又絶
代名家也以故極精其說而與不佞游久講談餘晷時
時及之因請其象數諸書更以華文獨謂此書未譯則
他書俱不可得論遂共翻其要約六卷既平業而復之
由顯入微從疑得信蓋不用為用衆用所基真可謂萬
象之形囿百家之學海雖實未竟然以當他書既可得
<pb:KR3f0047_WYG_000-4a>
而論矣私心自謂不意古學廢絶二千年後頓獲補綴
唐虞三代之闕典遺義其裨益當世定復不小因偕二
三同志刻而傳之先生曰是書也以當百家之用度幾
有羲和般墨其人乎猶其小者有大用于此將以習人
之靈才令細而確也余以為小用大用實在其人如鄧
林伐材棟梁榱桷恣所取之耳顧惟先生之學略有三
種大者修身事天小者格物窮理物理之一端别為象
數一一皆精實典要洞無可疑其分解擘析亦能使人
<pb:KR3f0047_WYG_000-4b>
無疑而余乃亟傳其小者趨欲先其易信使人繹其文
想見其意理而知先生之學可信不疑大㮣如是則是
書之為用更大矣他所說幾何諸家藉此為用略具其
自敘中不備論吳淞徐光啟書

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#+TITLE: 幾何原本
#+DATE: 2015-08-24 23:11:01.928232
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#+PROPERTY: BASEEDITION WYG    
#+PROPERTY: JUAN 卷一之首
<pb:KR3f0047_WYG_001-1a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷一之首
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇譯
　　界說三十六則
　凡造論先當分别解說論中所用名目故曰界說
　凡厯法地理樂律算章技藝工巧諸事有度有數者
　皆依頼十府中幾何府屬凡論幾何先從一㸃始
　自㸃引之為線線展為靣靣積為體是名三度
<pb:KR3f0047_WYG_001-1b>
　第一界
㸃者無分
　無長短廣狹厚薄　如下圖(凡圖十干為識干盡用/十二支支盡用八卦八)
　(音/)
　(甲/)
　第二界
線有長無廣
　試如一平靣光照之有光無光之間不容一物是線
<pb:KR3f0047_WYG_001-2a>
　也真平真圓相遇其相遇處止有一㸃行則止有一線
　
　線有直有曲
　第三界
線之界是㸃(凡線有界者/兩界必是㸃)
　第四界
直線止有兩端兩端之間上下更無一㸃
　兩㸃之間至徑者直線也稍曲則繞而長矣
<pb:KR3f0047_WYG_001-2b>
　直線之中㸃能遮兩界
　凡量逺近皆用直線
　　　　甲乙丙是直線甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是
　　　　曲線
　第五界
靣者止有長有廣
　　體所見為靣
　凡體之影極似於靣(無厚/之極)
<pb:KR3f0047_WYG_001-3a>
　想一線横行所留之迹即成靣也
　
　
　第六界
靣之界是線
　第七界
平靣一靣平在界之内
　平靣中間線能遮兩界
<pb:KR3f0047_WYG_001-3b>
　平靣者諸方皆作直線
　　　　　試如一方靣用一直繩施於　角繞靣運
　　　　　轉不礙於空是平靣也
　　　　　若曲靣者則中間線不遮兩界
　第八界
平角者兩直線於平靣縱横相遇交接處
<pb:KR3f0047_WYG_001-4a>
　凡言甲乙丙角皆指平角
　　　如上甲乙乙丙二線平行相遇不能作角
　
　　　　如上甲乙乙丙二線雖相遇不作平角為是
　　　　曲線
　所謂角止是兩線相遇不以線之大小較論
　第九界
直線相遇作角為直線角
<pb:KR3f0047_WYG_001-4b>
　平地兩直線相遇為直線角本書中所論止是直線
　角但作角有三等今附著於此一直線角二曲線角
　三雜線角　如下六圖
　
　
　第十界
直線垂於横直線之上若兩角等必兩成直角而直線
　下垂者謂之横線之垂線
<pb:KR3f0047_WYG_001-5a>
　量法常用兩直角及垂線垂線加於横線之上必不
　作銳角及鈍角
　　　　若甲乙線至丙丁上則乙之左右作兩角相
　　　　等為直角而甲乙為垂線
　若甲乙為横線則丙丁又為甲乙之垂線何者丙乙
　與甲乙相遇雖止一直角然甲線若垂下過乙則丙
　線上下定成兩直角所以丙乙亦為甲乙之垂線(如/今)
　(用短尺一縱一横互相/為直線互相為垂線)
<pb:KR3f0047_WYG_001-5b>
　凡直線上有兩角相連是相等者定俱直角中間線
　為垂線
　反用之若是直角則兩線定俱是垂線
　第十一界
凡角大于直角為鈍角
　　　　如甲乙丙角與甲乙丁角不等而甲乙丙大
　　　　於甲乙丁則甲乙丙為鈍角
　第十二界
<pb:KR3f0047_WYG_001-6a>
凡角小於直角為銳角
　如前圖甲乙丁是
　通上三界論之直角一而己鈍角銳角其大小不等
　乃至無數
　是後凡指言角者俱用三字為識其第二字即所指
　角也　如前圖甲乙丙三字第二乙字即所指鈍角
　若言甲乙丁即第二乙字是所指銳角
　第十三界
<pb:KR3f0047_WYG_001-6b>
界者一物之終始
　今所論有三界㸃為線之界線為靣之界靣為體之
　界體不可為界
　第十四界
或在一界或在多界之間為形
　一界之形如平圓立圓等物多界之形如平方立方
　及平立三角六八角等物　圖見後卷
　第十五界
<pb:KR3f0047_WYG_001-7a>
圜者一形於平地居一界之間自界至中心作直線俱
　等
　　　　　若甲乙丙為圜丁為中心則自甲至丁與
　　　　　乙至丁丙至丁其線俱等
　外圓線為圜之界内形為圜
　一說圜是一形乃一線屈轉一周復於元處所作如
　上圖甲丁線轉至乙丁乙丁轉至丙丁丙丁又至甲
　丁復元處其中形即成圜
<pb:KR3f0047_WYG_001-7b>
　第十六界
圜之中處為圜心
　第十七界
自圜之一界作一直線過中心至他界為圜徑徑分圜
　兩平分
　　　　　甲丁乙戊圜自甲至乙過丙心作一直線
　　　　　為圜徑
　第十八界
<pb:KR3f0047_WYG_001-8a>
徑線與半圜之界所作形為半圜
　第十九界
在直線界中之形為直線形
　第二十界
在三直線界中之形為三邉形
　第二十一界
在四直線界中之形為四邉形
　第二十二界
<pb:KR3f0047_WYG_001-8b>
在多直線界中之形為多邊形(五邉以/上俱是)
　第二十三界
三邊形三邊線等為平邊三角形
　
　
　第二十四界
三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形(或銳/或鈍)
<pb:KR3f0047_WYG_001-9a>
　
　第二十五界
三邊形三邊線俱不等為三不等三角形
　
　第二十六界
三邊形有一直角為三邊直角形
　
　
<pb:KR3f0047_WYG_001-9b>
　第二十七界
三邊形有一鈍角為三邊鈍角形
　
　
　第二十八界
三邉形有三銳角為三邉各銳角形
　凡三邊形恒以在下者為底在上二邊為腰
　第二十九界
<pb:KR3f0047_WYG_001-10a>
四邊形四邊線等而角直為直角方形
　
　
　第三十界
直角形其角俱是直角其邊兩兩相等
　　　　　如上甲乙丙丁形甲乙邊與丙丁邊自相
　　　　　等甲丙與乙丁自相等
　第三十一界
<pb:KR3f0047_WYG_001-10b>
斜方形四邊等俱非直角
　
　
　第三十二界
長斜方形其邊兩兩相等俱非直角
　
　
　第三十三界
<pb:KR3f0047_WYG_001-11a>
以上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆
　謂之無法四邊形
　
　
　第三十四界
兩直線於同靣行至無窮不相離亦不相逺而不得相
　遇為平行線
　
<pb:KR3f0047_WYG_001-11b>
　
　
　第三十五界
一形每兩邊有平行線為平行線方形
　
　
　第三十六界
凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角
<pb:KR3f0047_WYG_001-12a>
　線又於兩邊縱横各作一平行線其兩平行線與對
　角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形
　有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘
　方形
　　　　　甲乙丁丙方形於丙乙兩角作一線為對
　　　　　角線又依乙丁平行作戊己線依甲乙平
　　　　　行作庚辛線其對角線與戊己庚辛兩線
　交羅相遇於壬即作大小四平行線方形矣則庚壬
<pb:KR3f0047_WYG_001-12b>
　己丙及戊壬辛乙兩方形謂之角線方形而甲庚壬
　戊及壬己丁辛謂之餘方形
　　求作四則
　求作者不得言不可作
　第一求
自此㸃至彼㸃求作一直線
　此求亦出上篇葢自此㸃直行至彼㸃即是直線
自甲至乙或至丙至丁俱可作直線
<pb:KR3f0047_WYG_001-13a>
　
　
　第二求
一有界直線求從彼界直行引長之
　　　　　如甲乙線從乙引至丙或引至丁俱一直
　　　　　行
　第三求
不論大小以㸃爲心求作一圜
<pb:KR3f0047_WYG_001-13b>
　
　
　第四求
設一度於此求作彼度較此度或大或小(凡言度者或/線或面或體)
　　(皆/是)或言較小作大可作較大作小不可作何者小
　　之至極數窮盡故也此說非是凡度與數不同數
　　者可以長不可以短長數無窮短數有限如百數
　　減半成五十減之又減至一而止一以下不可損
<pb:KR3f0047_WYG_001-14a>
　　矣自百以上增之可至無窮故曰可長不可短也
　　度者可以長亦可以短長者增之可至無窮短者
　　減之亦復無盡嘗見莊子稱一尺之棰日取其半
　　萬世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若
　　減之可盡是有化爲無也有化爲無猶可言也令
　　巳分者更復合之合之又合仍爲尺棰是始合之
　　初兩無能并爲一有也兩無能并爲一有不可言也
　　公論十九則
<pb:KR3f0047_WYG_001-14b>
　公論者不可疑
　第一論
設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等
　第二論
有多度等若所加之度等則合并之度亦等
　第三論
有多度等若所減之度等則所存之度亦等
　第四論
<pb:KR3f0047_WYG_001-15a>
有多度不等若所加之度等則合并之度不等
　第五論
有多度不等若所减之度等則所存之度不等
　第六論
有多度俱倍於此度則彼多度俱等
　第七論
有多度俱半於此度則彼多度亦等
　第八論
<pb:KR3f0047_WYG_001-15b>
有二度自相合則二度必等(以一度加/一度之上)
　第九論
全大於其分(如一尺大於一寸寸者全/尺中十分中之一分也)
　第十論
直角俱相等(見界/說十)
　第十一論
有二横直線或正或偏任加一縱線若三線之間同方
　兩角小於兩直角則此二横直線愈長愈相近必至
<pb:KR3f0047_WYG_001-16a>
　　　　相遇甲乙丙丁二横直線任意作一戊己縱
　　　　線或正或偏若戊己線同方兩角俱小於直
　　　　角或并之小於兩直角則甲乙丙丁線愈長
　愈相近必有相遇之處
　欲明此理宜察平行線不得相遇者(界說/卅四)加一垂線
　即三線之間定為直角便知此論兩角小於直角者
　其行不得不相遇矣
　第十二論
<pb:KR3f0047_WYG_001-16b>
兩直線不能為有界之形
　
　
　第十三論
兩直線止能於一㸃相遇
　如云線長界近相交不止一㸃試於丙乙二界各出
　　　　　直線交於丁假令其交不止一㸃當引至
　　　　　甲則甲丁乙宜為甲丙乙圜之徑而甲丁
<pb:KR3f0047_WYG_001-17a>
　丙亦如之(界說/十七)夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦
　右半也(界說/十七)甲丁乙為全甲丁丙為其分而俱稱右
　半是全與其分等也(本篇/九)
　第十四論
有幾何度等若所加之度各不等則合并之差與所加
　之差等
　　　　甲乙丙丁線等于甲乙加乙戊於丙丁加丁
　　　　己則甲戊大於丙己者庚戊線也而乙戊大
<pb:KR3f0047_WYG_001-17b>
　於丁己亦如之
　第十五論
有幾何度不等若所加之度等則合并所贏之度與元
　所贏之度等
　　　　如上圖反說之戊乙己丁線不等於戊乙加
　　　　乙甲於己丁加丁丙則戊甲大於己丙者戊
　　　　庚線也而戊乙大於己丁亦如之
　第十六論
<pb:KR3f0047_WYG_001-18a>
有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減
　去所贏之度等
　　　　甲乙丙丁線等於甲乙減戊乙於丙丁減己
　　　　丁則乙戊大於丁己者庚戊也而丙己大於
　　　　甲戊亦如之
　第十七論
有幾何度不等若所減之度等則餘度所贏之度與元
　所贏之度等
<pb:KR3f0047_WYG_001-18b>
　　　　如十四論反說之甲戊丙己線不等於甲戊
　　　　減甲乙於丙己減丙丁則乙戊長於丁己者
　　　　亦庚戊也與甲戊長於丙己者等矣
　第十八論
全與諸分之并等
　第十九論
有二全度此全倍於彼全若此全所減之度倍於彼全
　所減之度則此較亦倍於彼較(相减之/餘曰較)
<pb:KR3f0047_WYG_001-19a>
　如此度二十彼度十於二十減六於十減三則此較
　十四彼較七
　
　
　
　
　
　
<pb:KR3f0047_WYG_001-19b>
　
　
　
　
　
　
　
　幾何原本卷一之首
#+PROPERTY: JUAN 卷一
<pb:KR3f0047_WYG_001-20a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷一
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇撰
　第一題
于有界直線上求立平邊三角形
　　　　法曰甲乙直線上求立平邊三角形先以甲
　　　　為心乙為界作丙乙丁圜次以乙為心甲為
　　　　界作丙甲丁圜兩圜相交于丙于丁末自甲
<pb:KR3f0047_WYG_001-20b>
　至丙丙至乙各作直線即甲乙丙為平邊三角形
　論曰以甲為心至圜之界其甲乙線與甲丙甲丁線
　等以乙為心則乙甲線與乙丙乙丁線亦等何者凡
　為圜自心至界各線俱等故(界説/十五)既乙丙等于乙甲
　　　　　而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙
　　　　　丙(公論/一)三邊等如所求(凡論有二種此/以是為論者正)
　　　　　(論也下/倣此)
<pb:KR3f0047_WYG_001-21a>
　　　　　其用法不必作兩圜但以甲為心乙為界
　　　　　作近丙一短界線乙為心甲為界亦如之
　　兩短界線交處即得丙
　　諸三角形俱推前用法作之(詳本篇/卄二)
　第二題
一直線線或内或外有一㸃求以㸃為界作直線與元
　線等
　
<pb:KR3f0047_WYG_001-21b>
　　　　　法曰有甲㸃及乙丙線求以甲為界作一
　　　　　線與乙丙等先以丙為心乙為界(乙為心/丙為界)
　　　　　(亦可/作)作丙乙圜(第三/求)次觀甲㸃若在丙乙
　　　　　之外則自甲至丙作甲丙線(第一/求)如上前
　　　　　圖或甲在丙乙之内則截取甲至丙一分
　　　　　線如上後圖兩法俱以甲丙線為底任于
　上下作甲丁丙平邊三角形(本篇/一)次自三角形兩腰
　線引長之(第二/求)其丁丙引至丙乙圜界而止為丙戊
<pb:KR3f0047_WYG_001-22a>
　線其丁甲引之出丙乙圜外稍長為甲己線末以丁
　為心戊為界作丁戊圜其甲己線與丁戊圜相交于
　庚即甲庚線與乙丙線等
　　　　　論曰丁戊丁庚線同以丁為心戊庚為界
　　　　　故等(界説/十五)于丁戊線減丁丙丁庚線減丁
　　　　　甲其所減兩腰線等則所存亦等(公論/三)夫
　　　　　丙戊與丙乙同以丙為心戊乙為界亦等
　　　　　(界説/十五)即甲庚與丙乙等(公論/一)
<pb:KR3f0047_WYG_001-22b>
　若所設甲㸃即在丙乙線之一界其法尤易假如㸃
　在丙即以丙為心作乙戊圜從丙至戊即所求
　第三題
兩直線一長一短求于長線減去短線之度
　　　　法曰甲短線乙丙長線求于乙丙減甲先以
　　　　甲為度從乙引至别界作乙丁線(本篇/二)次以
　　　　乙為心丁為界作圜(第三/求)圜界與乙丙交于
　戊即乙戊與等甲之乙丁等葢乙丁乙戊同心同圜
<pb:KR3f0047_WYG_001-23a>
　故(界説/十五)
　第四題
兩三角形若相當之兩腰線各等各兩腰線間之角等
　則兩底線必等而兩形亦等其餘各兩角相當者俱
　等
　　　　解曰甲乙丙丁戊己兩三角形之甲與丁兩
　　　　角等甲丙與丁己兩線甲乙與丁戊兩線各
　　　　等題言乙丙與戊己兩底線必等而兩三角
<pb:KR3f0047_WYG_001-23b>
　　　　形亦等甲乙丙與丁戊己兩角甲丙乙與丁
　　　　己戊兩角俱等
　　　　論曰如云乙丙與戊己不等即令將甲角置
　丁角之上兩角必相合無大小甲丙與丁己甲乙與
　丁戊亦必相合無大小(公論/八)此二俱等而云乙丙與
　戊己不等必乙丙底或在戊己之上為庚或在其下
　為辛矣戊己既為直線而戊庚己又為直線則兩線
　當别作一形是兩線能相合為形也辛倣此(公論十/二  此)
<pb:KR3f0047_WYG_001-24a>
　(以非為論者駁/論也下倣此)
　第五題
三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出
　之其底之外兩角亦等
　　　　　　解曰甲乙丙三角形其甲丙與甲乙兩
　　　　　　腰等題言甲丙乙與甲乙丙兩角等又
　　　　　　自甲丙線任引至戊甲乙線任引至丁
　其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等
<pb:KR3f0047_WYG_001-24b>
　論曰試如甲戊線稍長即從甲戊截取一分與甲丁
　等為甲己(本篇/三)次自丙至丁乙至己各作直線(第一/求)
　即甲己乙甲丁丙兩三角形必等何者此兩形之甲
　角同甲己與甲丁兩腰又等甲乙與甲丙兩腰又等
　則其底丙丁與乙己必等而底線兩端相當之各兩
　　　　　　角亦等矣(本篇/四)又乙丙己與丙乙丁兩
　　　　　　三角形亦等何者此兩形之丙丁乙與
　　　　　　乙己丙兩角既等(本/論)而甲己甲丁兩腰
<pb:KR3f0047_WYG_001-25a>
　各減相等之甲丙甲乙線即所存丙己乙丁兩腰又
　等(公論/三)丙丁與乙己兩底又等(本/論)又乙丙同腰即乙
　丙丁與丙乙己兩角亦等也則丙之外乙丙己角與
　乙之外丙乙丁角必等矣(本篇/四)次觀甲乙己與甲丙
　丁兩角既等于甲乙己減丙乙己角甲丙丁減乙丙
　丁角則所存甲丙乙與甲乙丙兩角必等(公論/三)
　　　　　増從前形知三邊等形其三角俱等
　第六題
<pb:KR3f0047_WYG_001-25b>
三角形若底線兩端之兩角等則兩腰亦等
　　　　　解曰甲乙丙三角形其甲乙丙與甲丙乙
　　　　　兩角等題言甲乙與甲丙兩腰亦等
　論曰如云兩腰線不等而一長一短試辯之若甲乙
　為長線即令比甲丙線截去所長之度為乙丁線而
　乙丁與甲丙等(本篇/三)次自丁至丙作直線則本形成
　兩三角形其一為甲乙丙其一為丁乙丙而甲乙丙
　全形與丁乙丙分形同也是全與其分等也(公論/九)何
<pb:KR3f0047_WYG_001-26a>
　者彼言丁乙丙分形之乙丁與甲乙丙全形之甲丙
　兩線既等丁乙丙分形之乙丙與甲乙丙全形之乙
　　　　　丙又同線而元設丁乙丙與甲丙乙兩角
　　　　　等則丁乙丙與甲乙丙兩形亦等也(本篇/四)
　是全與其分等也故底線兩端之兩角等者兩腰必
　等也
　第七題
一線為底出兩腰線其相遇止有一㸃不得别有腰線
<pb:KR3f0047_WYG_001-26b>
　與元腰線等而于此㸃外相遇
　　　　解曰甲乙線為底于甲于乙各出一線至丙
　　　　㸃相遇題言此為一定之處不得于甲上更
　　　　出一線與甲丙等乙上更出一線與乙丙等
　而不于丙相遇
　論曰若言有别相遇于丁者即問丁當在丙内邪丙
　外邪若言丁在丙内則有二説俱不可通何者若言
　丁在甲丙元線之内則如第一圖丁在甲丙兩界之
<pb:KR3f0047_WYG_001-27a>
　間矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙與甲丁等
　也是全與其分等也(公論/九)若言丁在甲丙乙三角頂
　間則如第二圖丁在甲丙乙之間矣即令自丙至丁
　作丙丁線而乙丁丙甲丁丙又成兩三角形次從乙
　丁引出至己從乙丙引出至戊則乙丁丙形之乙丁
　乙丙兩腰等者其底線兩端之兩角乙丁丙乙丙丁
　　　　宜亦等也其底之外兩角己丁丙戊丙丁宜
　　　　亦等也(本篇/五)而甲丁丙形之甲丁甲丙兩腰
<pb:KR3f0047_WYG_001-27b>
　　　　等者其底線兩端之兩角甲丙丁甲丁丙宜
　　　　亦等也(本篇/五)夫甲丙丁角本小于戊丙丁角
　　　　而為其分今言甲丁丙與甲丙丁兩角等則
　　　　甲丁丙亦小于戊丙丁矣何況己丁丙又甲
　　　　丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外兩
　　　　角等乎若言丁在丙外又有三説俱不可通
　何者若言丁在甲丙元線外是丁甲即在丙甲元線
　之上則甲丙與甲丁等矣即如上第一説駁之若言
<pb:KR3f0047_WYG_001-28a>
　丁在甲丙乙三角頂外即如上第二説駁之若言丁
　在丙外而後出二線一在三角形内一在其外甲丁
　線與乙丙線相交如第五圖即令將丙丁相聯作直
　線是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜與甲丁丙
　兩角等也(本篇/五)夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而為
　其分據如彼論則甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又
　丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜與丁丙乙兩角
　等也(本篇/五)夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而為其分
<pb:KR3f0047_WYG_001-28b>
　據如彼論則丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二説
　者豈不自相戾乎
　第八題
兩三角形若相當之兩腰各等兩底亦等則兩腰間角
　必等
　　　　解曰甲乙丙丁戊己兩三角形其甲乙與丁
　　　　戊兩腰甲丙與丁己兩腰各等乙丙與戊己
　　　　兩底亦等題言甲與丁兩角必等
<pb:KR3f0047_WYG_001-29a>
　　　　論曰試以丁戊己形加于甲乙丙形之上問
　　　　丁角在甲角上邪否邪若在上即兩角等矣
　　　　(公論/八)或謂不然乃在于庚即問庚當在丁戊
　線之内邪或在三角頂之内邪或在三角頂之外邪
　皆依前論駁之(本篇/七)
　系本題止論甲丁角若旋轉依法論之即三角皆同
　可見凡線等則角必等不可疑也
　第九題
<pb:KR3f0047_WYG_001-29b>
有直線角求兩平分之
　　　　　　法曰乙甲丙角求兩平分之先于甲乙
　　　　　　線任截一分為甲丁(本篇/三)次于甲丙亦
　截甲戊與甲丁等次自丁至戊作直線次以丁戊為
　底立平邊三角形(本篇/一)為丁戊己形末自己至甲作
　直線即乙甲丙角為兩平分
　論曰丁甲己與戊甲己兩三角形之甲丁與甲戊兩
　線等甲己同是一線戊己與丁己兩底又等(何言兩/底等初)
<pb:KR3f0047_WYG_001-30a>
　(從戊丁底作此三角平形/此二線為腰各等戊丁故)則丁甲己與戊甲己兩角
　必等(本篇/八)
　　　　　　　用法如上截取甲丁甲戊即以丁為
　　　　　　　心向乙丙間任作一短界線次用元
　　度以戊為心亦如之兩界線交處得己(本篇/一)
　第十題
一有界線求兩平分之
　　　　法曰甲乙線求兩平分先以甲乙為底作甲
<pb:KR3f0047_WYG_001-30b>
　　　　乙丙兩邊等三角形(本篇/一)次以甲丙乙角兩
　平分之(本篇/九)得丙丁直線即分甲乙于丁
　論曰丙丁乙丙丁甲兩三角形之丙乙丙甲兩腰等
　而丙丁同線甲丙丁與乙丙丁兩角又等(本篇/九)則甲
　丁與乙丁兩線必等(本篇/四)
　　　　　　用法以甲為心任用一度但須長于甲
　　　　　　乙線之半向上向下各作一短界線次
　　用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末
<pb:KR3f0047_WYG_001-31a>
　　作丙丁直線即分甲乙于戊
　第十一題
一直線任于一㸃上求作垂線
　法曰甲乙直線任指一㸃于丙求丙上作垂線先于
　　　　　丙左右任用一度各截一界為丁為戊(本/篇)
　　　　　(二/)次以丁戊為底作兩邊等角形(本篇/一)為
　　　　　丁己戊末自己至丙作直線即己丙為甲
　乙之垂線
<pb:KR3f0047_WYG_001-31b>
　論曰丁己丙與戊己丙兩角形之己丁己戊兩腰等
　而己丙同線丙丁與丙戊兩底又等即兩形必等丁
　與戊兩角亦等(本篇/五)丁己丙與戊己丙兩角亦等(本/篇)
　(八/九)則丁丙己與戊丙己兩角必等矣等即是直角直
　角即是垂線(界説十角此後三角/形多稱  形省文也)
　　　　　　用法于丙㸃左右如上截取丁與戊即
　　　　　　以丁為心任用一度但須長于丙丁線
　　向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之
<pb:KR3f0047_WYG_001-32a>
　　兩界線交處即己
　　　　　　　又用法于丙左右如上截取丁與戊
　　　　　　　即任用一度以丁為心于丙上下方
　　　　　　　各作短界線次用元度以戊為心亦
　　如之則上交為己下交為庚末作己庚直線視直
　　線交于丙㸃即得是用法又為嘗巧之法
　　　　　　増若甲乙線所欲立垂線之㸃乃在線
　　　　　　末甲界上甲外無餘線可截則于甲乙
<pb:KR3f0047_WYG_001-32b>
　　　　　　線上任取一㸃為丙如前法于丙上立
　　　　　　丁丙垂線次以甲丙丁角兩平分之(本/篇)
　　　　　　(九/)為己丙線次以甲丙為度于丁丙垂
　　　　　　線上截戊丙線(本篇/三)次于戊上如前法
　　立垂線與己丙線相遇為庚末自庚至甲作直線
　　如所求
　　論曰庚甲丙與庚丙戊兩角形之甲丙戊丙兩線
　　既等庚丙同線戊丙庚與甲丙庚兩角又等即甲
<pb:KR3f0047_WYG_001-33a>
　　庚戊庚兩線必等(本篇/四)而對同邊之甲角戊角亦
　　等(本篇/四)戊既直角則甲亦直角是甲庚為甲乙之
　　垂線(界説/十)
　　　　　　用法甲㸃上欲立垂線先以甲為心向
　　　　　　元線上方任抵一界作丙㸃次用元度
　　以丙為心作大半圜圜界與甲乙線相遇為丁次
　　自丁至丙作直線引長之至戊為戊丁線戊丁與
　　圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求(此法/今未)
<pb:KR3f0047_WYG_001-33b>
　　(能論論見第三/卷第三十一題)
　第十二題
有無界直線線外有一㸃求于㸃上作垂線至直線上
　　　　　法曰甲乙線外有丙㸃求從丙作垂線至
　　　　　甲乙先以丙為心作一圜令兩交于甲乙
　　　　　線為丁為戊次從丁戊各作直線至丙次
　兩平分丁戊于己(本篇/十)末自丙至己作直線即丙己
　為甲乙之垂線
<pb:KR3f0047_WYG_001-34a>
　　　　　論曰丙己丁丙己戊兩角形之丙丁丙戊
　　　　　兩線等丙己同線則丙戊己與丙丁己兩
　　　　　角必等(本篇/八)而丁丙己與戊丙己兩角又
　等則丙己丁與丙己戊等皆直角(本篇/四)而丙己定為
　垂線矣
　　　　　　　用法以丙為心向直線兩處各作短
　　　　　　　界線為甲為乙次用元度以甲為心
　　向丙㸃相望處作短界線乙為心亦如之兩界線
<pb:KR3f0047_WYG_001-34b>
　　交處為丁末自丙至丁作直線則丙戊為垂線
　　　　　　　又用法于甲乙線上近甲近乙任取
　　　　　　　一㸃為心以丙為界作一圜界于丙
　　　　　　　㸃及相望處各稍引長之次于甲乙
　　　　　　　線上視前心或相望如前圖或進或
　　　　　　　退如後圖任移一㸃為心以丙為界
　　　　　　　作一圜界至與前圜交處得丁末自
　　丙至丁作直線得戊(若近界作垂線無/可截取亦用此法)
<pb:KR3f0047_WYG_001-35a>
　第十三題
一直線至他直線上所作兩角非直角即等于兩直角
　　　　解曰甲線下至丙丁線遇于乙其甲乙丙與
　　　　甲乙丁作兩角題言此兩角當是直角若非
　　　　直角即是一鋭一鈍而并之等于兩直角
　　　　論曰試于乙上作垂線為戊乙(本篇/十一)令戊乙
　丙與戊乙丁為兩直角即甲乙丁甲乙戊兩鋭角并
　之與戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊兩鋭角
<pb:KR3f0047_WYG_001-35b>
　又加戊乙丙一直角并此三角定與戊乙丙戊乙丁
　兩直角等也(公論/十八)次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭
　直兩角定與甲乙丙鈍角等也次于甲乙戊戊乙丙
　鋭直兩角又加甲乙丁鋭角并此三角定與甲乙丁
　甲乙丙鋭鈍兩角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三
　角既與兩直角等則甲乙丁與甲乙丙兩角定與兩
　直角等(公論/一)
　第十四題
<pb:KR3f0047_WYG_001-36a>
一直線于線上一㸃出不同方兩直線偕元線每旁作
　兩角若每旁兩角與兩直角等即後出兩線為一直
　線
　　　　　解曰甲乙線于丙㸃上左出一線為丙丁
　　　　　右出一線為丙戊若甲丙戊甲丙丁兩角
　　　　　與兩直角等題言丁丙與丙戊是一直線
　論曰如云不然令别作一直線必從丁丙更引出一
　線或離戊而上為丁丙己或離戊而下為丁丙庚也
<pb:KR3f0047_WYG_001-36b>
　若上于戊則甲丙線至丁丙己直線上為甲丙己甲
　丙丁兩角此兩角宜與兩直角等(本篇/十三)如此即甲丙
　　　　　戊甲丙丁兩角與甲丙己甲丙丁兩角亦
　　　　　等矣試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙
　　　　　己兩角較之果相等乎(公論/三)夫甲丙己本
　小于甲丙戊而為其分今曰相等是全與其分等也
　(公論/九)若下于戊則甲丙線至丁丙庚直線上為甲丙
　庚甲丙丁兩角此兩角宜與兩直角等(本篇/十三)如此即
<pb:KR3f0047_WYG_001-37a>
　甲丙庚甲丙丁兩角與甲丙戊甲丙丁兩角亦等矣
　試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙庚較之果相等
　乎(公論/三)夫甲丙戊實小于甲丙庚而為其分今曰相
　等是全與其分等也(公論/九)兩者皆非則丁丙戊是一
　直線
　第十五題
凡兩直線相交作四角每兩交角必等
　解曰甲乙與丙丁兩線相交于戊題言甲戊丙與丁
<pb:KR3f0047_WYG_001-37b>
　　　　戊乙兩角甲戊丁與丙戊乙兩角各等
　　　　論曰丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙
　兩角與兩直角等(本篇/十三)甲戊線至丙丁線上則甲戊
　丙甲戊丁兩角與兩直角等(本篇/十三)如此即丁戊乙甲
　戊丁兩角亦與甲戊丁甲戊内兩角等(公論/十)試減同
　用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙兩角必等(公/論)
　(三/)又丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙兩角與
　兩直角等(本篇/十三)乙戊線至丙丁線上則丁戊乙丙戊
<pb:KR3f0047_WYG_001-38a>
　　　　乙兩角與兩直角等(本篇/十三)如此即甲戊丁丁
　　　　戊乙兩角亦與丁戊乙丙戊乙兩角(公論/十)試
　減同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等
　一系推顯兩直線相交于中㸃上作四角與四直角
　等
　二系一㸃之上兩直線相交不論幾許線幾許角定
　與四直角等(公論/十八)
　　増題一直線内出不同方兩直線而所作兩交角
<pb:KR3f0047_WYG_001-38b>
　　等即後出兩線為一直線
　　　　　　解曰甲乙線内取丙㸃出丙丁丙戊兩
　　　　　　線而所作甲丙戊丁丙乙兩交角等或
　　甲丙丁戊丙乙兩交角等題言戊丙丙丁即一直
　　線
　　論曰甲丙戊角既與丁丙乙角等每加一戊丙乙
　　角即甲丙戊戊丙乙兩角必與丁丙乙戊丙乙兩
　　角等(公論/二)而甲丙戊戊丙乙與兩直角等(本篇/十三)則
<pb:KR3f0047_WYG_001-39a>
　　丁丙乙戊丙乙亦與兩直角等是戊丙丙丁為一
　　直線(本篇/十四)
　第十六題
凡三角形之外角必大于相對之各角
　　　　　　解曰甲乙丙角形自乙甲線引之至丁
　　　　　　題言外角丁甲丙必大于相對之内角
　甲乙丙甲丙乙
　論曰欲顯丁甲丙角大于甲丙乙角試以甲丙線兩
<pb:KR3f0047_WYG_001-39b>
　　　　　平分于戊(本篇/十)自乙至戊作直線引長之
　　　　　從戊外截取戊巳與乙戊等(本篇/三)次自甲
　　　　　至己作直線即甲戊己戊乙丙兩角形之
　戊己與戊乙兩線等戊甲與戊丙兩線等甲戊己乙
　戊丙兩交角又等(本篇/十五)則甲己與乙丙兩底亦等(本/篇)
　(四/)兩形之各邊各角俱等而己甲戊與戊丙乙兩角
　亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分則丁甲丙大于己
　甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于
<pb:KR3f0047_WYG_001-40a>
　相對之甲丙乙内角乎次顯丁甲丙大于甲乙丙試
　自丙甲線引長之至庚次以甲乙線兩平分于辛(本/篇)
　(十/)自丙至辛作直線引長之從辛外截取辛壬與丙
　辛等(本篇/三)次自甲至壬作直線依前論推顯甲辛壬
　辛丙乙兩角形之各邊各角俱等則壬甲辛與辛乙
　丙兩角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚
　甲乙也庚甲乙又與丁甲丙兩交角等(本篇/十五)則甲乙
　丙内角不小于丁甲丙外角乎其餘乙丙上作外角
<pb:KR3f0047_WYG_001-40b>
　俱大于相對之内角依此推顯
　第十七題
凡三角形之每兩角必小于兩直角
　　　　　解曰甲乙丙角形題言甲乙丙甲丙乙兩
　　　　　角丙甲乙甲乙丙兩角甲丙乙丙甲乙兩
　　　　　角皆小于兩直角
　論曰試用兩邊線丙甲引出至戊丙乙引出至丁即
　甲乙丁外角大于相對之甲丙乙内角矣(本篇/十六)此兩
<pb:KR3f0047_WYG_001-41a>
　率者每加一甲乙丙角則甲乙丁甲乙丙必大于甲
　丙乙甲乙丙矣(公論/四)夫甲乙丁甲乙丙與兩直角等
　也(本篇/十三)則甲丙乙甲乙丙小于兩直角也餘二倣此
　第十八題
凡三角形大邊對大角小邊對小角
　　　　解曰甲乙丙角形之甲丙邊大于甲乙邊乙
　　　　丙邊題言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙
　角
<pb:KR3f0047_WYG_001-41b>
　論曰甲丙邊大于甲乙邊即于甲丙線上截甲丁與
　甲乙等(本篇/三)自乙至丁作直線則甲乙丁與甲丁乙
　兩角等矣(本篇/五)夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角
　必大于相對之丁丙乙内角(本篇/十六)則甲乙丁角亦大
　于甲丙乙角而況甲乙丙又函甲乙丁于其中不又
　大于甲丙乙乎如乙丙邊大于甲乙邊則乙甲丙角
　亦大于甲丙乙角依此推顯
　第十九題
<pb:KR3f0047_WYG_001-42a>
凡三角形大角對大邊小角對小邊
　　　　解曰甲乙丙角形乙角大于丙角題言對乙
　　　　角之甲丙邊必大于對丙角之甲乙邊
　論曰如云不然令言或等或小若言甲丙與甲乙等
　則甲丙角宜與甲乙角等矣(本篇/五)何設乙角大于丙
　角也若言甲丙小于甲乙則甲丙邊對甲乙大角宜
　大(本篇/十八)又何言小也如甲角大于丙角則乙丙邊大
　于甲乙邊依此推顯
<pb:KR3f0047_WYG_001-42b>
　第二十題
凡三角形之兩邊并之必大于一邊
　　　　解曰甲乙丙角形題言甲丙甲乙邊并之必
　　　　大于乙丙邊甲丙丙乙并之必大于甲乙甲
　乙乙丙并之必大于甲丙
　論曰試于丙甲邊引長之以甲乙為度截取甲丁(本/篇)
　(三/)自丁至乙作直線令甲丁甲乙兩腰等而甲丁乙
　甲乙丁兩角亦等(本篇/五)即丙乙丁角大于甲乙丁角
<pb:KR3f0047_WYG_001-43a>
　亦大于丙丁乙角矣夫丁丙邊對丙乙丁大角也豈
　不大于乙丙邊對丙丁乙小角者乎(本篇/十九)又甲丁甲
　乙兩線各加甲丙線等也則甲乙加甲丙者與丙丁
　等矣丙丁既大于乙丙則甲乙甲丙兩邊并必大于
　乙丙邊也餘二倣此
　第二十一題
凡三角形于一邊之兩界出兩線復作一三角形在其
　内則内形兩腰并之必小于相對兩腰而後兩線所
<pb:KR3f0047_WYG_001-43b>
　作角必大于相對角
　　　　解曰甲乙丙角形于乙丙邊之兩界各出一
　　　　線遇于丁題言丁丙丁乙兩線并必小于甲
　　　　乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角
　論曰試用内一線引長之如乙丁引之至戊即乙甲
　戊角形之乙甲甲戊兩線并必大于乙戊線也(本篇/二十)
　此二率者每加一戊丙線則乙甲甲戊戊丙并必大
　于乙戊戊丙并矣(公論/四)又戊丁丙角形之戊丁戊丙
<pb:KR3f0047_WYG_001-44a>
　線并必大于丁丙線也此二率者每加一丁乙線則
　戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣(公論/四)夫乙
　甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙豈不更大于丁丙丁
　乙乎(本篇/二十)又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相對
　之乙甲戊内角(本篇/十六)即丁戊丙角形之乙丁丙外角
　更大于相對之丁戊丙内角矣而乙丁丙角豈不更
　大于乙甲丙角乎
　第二十二題
<pb:KR3f0047_WYG_001-44b>
三直線求作三角形其每兩線并大于一線也
　　　　　法曰甲乙丙三線其第一第二線并大于
　　　　　第三線(若兩線比第三線或等或小即/不能作三角形見本篇二十)求
　　　　　作三角形先任作丁戊線長于三線并次
　　　　　以甲為度從丁截取丁巳線(本篇/三)以乙為
　　　　　度從己截取己庚線以丙為度從庚截取
　庚辛線次以己為心丁為界作丁壬癸圜以庚為心
　辛為界作辛壬癸圜其兩圜相遇下為壬上為癸末
<pb:KR3f0047_WYG_001-45a>
　以庚巳為底作癸庚癸巳兩直線即得己癸庚三角
　形(用壬亦可作線若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不/到丑即是兩  或等或小于第三線不成三角形)
　(矣/)
　論曰此角形之丁己己癸線皆同圜之半徑等(界説/十五)
　則己癸與甲等庚辛庚癸線亦皆同圜之半徑等則
　庚癸與丙等己庚元以乙為度則角形三線與所設
　三線等
　　　　　用法任以一線為底以底之一界為心第
<pb:KR3f0047_WYG_001-45b>
　　　　　二線為度向上作短界線次以又一界為
　　　　　心第三線為度向上作短界線兩界線交
　　　　　處向下作兩腰如所求
　　　　　若設一三角形求别作一形與之等亦用
　　　　　此法
　第二十三題
一直線任于一㸃上求作一角與所設角等
　法曰甲乙線于丙㸃求作一角與丁戊己角等先于
<pb:KR3f0047_WYG_001-46a>
　　　　　戊丁線任取一㸃為庚于戊巳線任取一
　　　　　㸃為辛自庚至辛作直線次依甲乙線作
　　　　　丙壬癸角形與戊庚辛角形等(本篇/卄二)即丙
　　　　　壬丙癸兩腰與戊庚戊辛兩腰等壬癸底
　與庚辛底又等則丙角與戊角必等(本篇/八)
　第二十四題
兩三角形相當之兩腰各等若一形之腰間角大則底
　亦大
<pb:KR3f0047_WYG_001-46b>
　　　　解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁
　　　　戊兩腰甲丙與丁巳兩腰各等若乙甲丙角
　　　　大于戊丁己角題言乙丙底必大于戊巳底
　　　　論曰試依丁戊線從丁㸃作戊丁庚角與乙
　　　　甲丙角等(本篇/卄三)則戊丁庚角大于戊丁己角
　　　　而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚線與丁
　　　　巳等(本篇/三)即丁庚丁巳俱與甲丙等又自戊
　　　　至庚作直線是甲乙與丁戊甲丙與丁庚腰
<pb:KR3f0047_WYG_001-47a>
　　　　線各等乙甲丙與戊丁庚兩角亦等而乙丙
　　　　與戊庚兩底必等也(本篇/四)次問所作戊庚底
　　　　今在戊巳底上邪抑同在一線邪抑在其下
　　　　邪若在上即如第二圖自己至庚作直線則
　　　　丁庚己角形之丁庚丁巳兩腰等而丁庚己
　　　　與丁己庚兩角亦等矣(本篇/五)夫戊庚己角乃
　　　　丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相
　　　　等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分則
<pb:KR3f0047_WYG_001-47b>
　　　　戊庚己益小于戊巳庚也(公論/九)則對戊庚己
　　　　小角之戊己腰必小于對戊己庚大角之戊
　　　　庚腰也(本篇/十九)若戊巳與戊庚兩底同線即如
　　　　第四圖戊己乃戊庚之分則戊己必小于戊
　庚也(公論/九)若戊庚在戊巳之下即如第六圖自己至
　庚作直線次引丁庚線出于壬引丁巳線出于辛則
　丁庚丁巳兩腰等而辛巳庚壬庚己兩外角亦等矣
　(本篇/五)夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己
<pb:KR3f0047_WYG_001-48a>
　亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之
　分則戊庚巳益小于戊己庚也(公論/九)則對戊庚己小
　角之戊巳腰必小于對戊己庚大角之戊庚腰也(本/篇)
　(十/九)是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙(本篇/四)也
　第二十五題
兩三角形相當之兩腰各等若一形之底大則腰間角
　亦大
　解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁戊甲丙
<pb:KR3f0047_WYG_001-48b>
　　　　與丁巳各兩腰等若乙丙底大于戊巳底題
　　　　言乙甲丙角大于戊丁巳角
　　　　論曰如云不然令言或小或等若言等則兩
　形之兩腰各等腰間角又等宜兩底亦等(本篇/四)何設
　乙丙底大也若言乙甲丙角小則對乙甲丙角之乙
　丙線宜亦小(本篇/廿四)何設乙丙底大也
　第二十六題(二支/)
兩三角形有相當之兩角等及相當之一邊等則餘兩
<pb:KR3f0047_WYG_001-49a>
　邊必等餘一角亦等其一邊不論在兩角之内及一
　角之對
　　　　先解一邊在兩角之内者曰甲乙丙角形之
　　　　甲乙丙甲丙乙兩角與丁戊己角形之丁戊
　　　　巳丁巳戊兩角各等在兩角内之乙丙邊與
　戊巳邊又等題言甲乙與丁戊兩邊甲丙與丁巳兩
　邊各等而乙甲丙角與戊丁巳角亦等
　論曰如云兩邊不等而丁戊大于甲乙令于丁戊線
<pb:KR3f0047_WYG_001-49b>
　截取庚戊與甲乙等(本篇/三)次自庚至己作直線即庚
　戊巳角形之庚戊戊巳兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等
　矣夫乙角與戊角元等則甲丙與庚巳宜等(本篇/四)而
　庚巳戊角與甲丙乙角宜亦等也(本篇/四)既設丁己戊
　與甲丙乙兩角等今又言庚己戊與甲丙乙兩角等
　　　　是庚己戊與丁己戊亦等全與其分等矣(公/論)
　　　　(九/)以此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦
　　　　等
<pb:KR3f0047_WYG_001-50a>
　　　　後解相等邊不在兩角之内而在一角之對
　　　　者曰甲乙丙角形之乙角丙角與丁戊己角
　　　　形之戊角丁己戊角各等而對丙之甲乙邊
　與對己之丁戊邊又等題言甲丙與丁己兩邊丙乙
　與己戊兩邊各等而甲角與戊丁己角亦等
　論曰如云兩邊不等而戊己大于乙丙令于戊己線
　截取戊庚與乙丙等(本篇/三)次自丁至庚作直線即丁
　戊庚角形之丁戊戊庚兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等
<pb:KR3f0047_WYG_001-50b>
　矣夫乙角與戊角元等則甲丙與丁庚宜等(本篇/四)而
　丁庚戊角與甲丙乙角宜亦等也既設丁巳戊與甲
　丙乙兩角等今又言丁庚戊與甲丙乙兩角等是丁
　庚戊外角與相對之丁巳戊内角等矣(本篇/十六)可乎以
　此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦等
　第二十七題
兩直線有他直線交加其上若内相對兩角等即兩直
　線必平行
<pb:KR3f0047_WYG_001-51a>
　　　　解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于
　　　　庚于辛而甲庚辛與丁辛庚兩角等題言甲
　　　　乙丙丁兩線必平行
　　　　論曰如云不然則甲乙丙丁兩直線必至相
　遇于壬而庚辛壬成三角形則甲庚辛外角宜大于
　相對之庚辛壬内角矣(本篇/十六)乃先設相等乎若設乙
　庚辛角與丙辛庚角等亦依此論若言甲乙丙丁兩
　直線相遇于癸亦依此論
<pb:KR3f0047_WYG_001-51b>
　第二十八題(二支/)
兩直線有他直線交加其上若外角與同方相對之内
　角等或同方兩内角與兩直角等即兩直線必平行
　　　　先解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交
　　　　于庚于辛其戊庚甲外角與同方相對之庚
　　　　辛丙内角等題言甲乙丙丁兩線必平行
　　　　論曰乙庚辛角與相對之内角丙辛庚等(本/篇)
　(卄/七)戊庚甲與乙庚辛兩交角亦等(本篇/十五)即兩直線必
<pb:KR3f0047_WYG_001-52a>
　平行
　後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等題言甲
　乙丙丁兩線必平行
　論曰甲庚辛丙辛庚兩角與兩直角等而甲庚戊甲
　庚辛兩角亦與兩直角等(本篇/十三)試減同用之甲庚辛
　即所存甲庚戊與丙辛庚等矣既外角與同方相對
　之内角等即甲乙丙丁必平行(本/題)
　第二十九題(三支/)
<pb:KR3f0047_WYG_001-52b>
兩平行線有他直線交加其上則内相對兩角必等外角
　與同方相對之内角亦等同方兩内角亦與兩直角等
　　　　先解曰此反前二題故同前圖有甲乙丙丁
　　　　二平行線加他直線戊巳交于庚于辛題言
　　　　甲庚辛與丁辛庚内相對兩角必等
　論曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚則丁辛庚加
　辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣(公論/四)夫辛庚甲
　辛庚乙元與兩直角等(本篇/十三)據如彼論則丁辛庚辛
<pb:KR3f0047_WYG_001-53a>
　庚乙兩角小于兩直角而甲乙丙丁兩直線向乙丁
　行必相遇也(公論/十一)可謂平行線乎
　次解曰戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等
　論曰乙庚辛與相對之丙辛庚兩内角等(本/題)則乙庚
　辛交角相等之戊庚甲(本篇/十五)與丙辛庚必等(公論/一)
　後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等
　論曰戊庚甲與庚辛丙兩角既等(本/題)而每加一甲庚
　辛角則庚辛丙甲庚辛兩角與甲庚辛戊庚甲兩角
<pb:KR3f0047_WYG_001-53b>
　必等(公論/二)夫甲庚辛戊庚甲本與兩直角等(本篇/十三)則
　甲庚辛丙辛庚兩内角亦與兩直角等
　第三十題
兩直線與他直線平行則元兩線亦平行
　解曰此題所指線在同面者不同面線後别有論如
　甲乙丙丁兩直線各與他線戊巳平行題言甲乙與
　丙丁亦平行
　論曰試作庚辛直線交加于三直線甲乙于壬戊巳
<pb:KR3f0047_WYG_001-54a>
　　　　　　　于子丙丁于癸其甲乙與戊巳既平
　　　　　　　行即甲壬子與相對之己子壬兩内
　　　　　　　角等(本篇/廿九)丙丁與戊巳既平行即丁
　　　　　　　癸子内角與己子壬外角亦等(本篇/廿九)
　丁癸子與甲壬子亦為相對之内角亦等(公論/一)而甲
　乙丙丁為平行線(本篇/廿七)
　第三十一題
一㸃上求作直線與所設直線平行
<pb:KR3f0047_WYG_001-54b>
　　　　法曰甲㸃上求作直線與乙丙平行先從甲㸃
　　　　向乙丙線任指一處作直線為甲丁即乙丙線上
　　　　成甲丁乙角次于甲㸃上作一角與甲丁乙等(本/篇)
　(廿/三)為戊甲丁從戊甲線引之至己即己戊與乙丙平行
　論曰戊己乙丙兩線有甲丁線聯之其所作戊甲丁
　與甲丁乙相對之兩内角等即平行線(本篇/廿七)
　　増從此題生一用法設一角兩線求作有法四邊
　　形有角與所設角等兩兩邊線與所設線等
<pb:KR3f0047_WYG_001-55a>
　　　　　　法曰先作己丁戊角與丙等次截丁戊
　　　　　　線與甲等己丁線與乙等末依丁戊平
　　　　　　行作己庚依己丁平行作庚戊即所求
　　　　　本題用法于甲㸃求作直線與乙丙平行
　　　　　先作甲丁線次以丁為心任作戊己圜界
　　　　　次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長于
　　戊己次取戊己圜界為度于庚辛圜界截取庚辛
　　末自甲至辛作直線各引長之即所求
<pb:KR3f0047_WYG_001-55b>
　　　　　又用法以甲㸃為心于乙丙線近乙處任
　　　　　指一㸃作短界線為丁次用元度以丁為
　　　　　心于乙丙上向丙截取一分作短界線為
　　戊次用元度以戊為心向上與甲平處作短界線
　　又用元度以甲為心向甲平處作短界線後兩界
　　線交處為己自甲至己作直線各引長之即所求
　第三十二題(二支/)
凡三角形之外角與相對之内兩角并等凡三角形之
<pb:KR3f0047_WYG_001-56a>
　内三角并與兩直角等
　先解曰甲乙丙角形試從乙丙邊引至丁題言甲丙
　　　　丁外角與相對之内兩角甲乙并等
　　　　論曰試作戊丙線與甲乙平行(本篇/三一)令甲丙
　　　　為甲乙戊丙之交加線則乙甲丙角與相對
　之甲丙戊角等(本篇/卄九)又乙丁線與兩平行線相遇則
　戊丙丁外角與相對之甲乙丙内角等(本篇/廿九)既甲丙
　戊與乙甲丙等而戊丙丁與甲乙丙又等則甲丙丁
<pb:KR3f0047_WYG_001-56b>
　外角與内兩角甲乙并等矣
　後解曰甲乙丙三角并與兩直角等
　論曰既甲丙丁角與甲乙兩角并等更于甲丙丁加
　甲丙乙則甲丙丁甲丙乙兩角并與甲乙丙内三角
　并等矣(公論/二)夫甲丙丁甲丙乙并元與兩直角等(本/篇)
　(十/三)則甲乙丙内三角并亦與兩直角等
　　増從此推知凡第一形當兩直角第二形當四直
　　角第三形當六直角自此以上至于無窮每命形
<pb:KR3f0047_WYG_001-57a>
　　　　之數倍之為所當直角之數(凡一線二線不/能為形故三邊)
　　　　(為第一形四邊為第二形五邊為第/三形六邊為第四形倣此以至無窮)又視每
　　　　形邊數減二邊即所存邊數是本形之數
　　　　論曰如上四圖第一形三邊減二邊存一邊
　　　　即是本形一數倍之當兩直角(本/題)第二形四
　　　　邊減二邊存二邊即是本形二數倍之當四
　　直角欲顯此理試以第二形作一對角線成兩三
　　角形每形當兩直角并之則當四直角矣第三形
<pb:KR3f0047_WYG_001-57b>
　　　　五邊減二邊存三邊即是本形三數倍之當
　　　　六直角欲顯此理試以第三形作兩對角線
　　　　成三三角形每形當兩直角并之亦當六直
　　　　角矣其餘依此推顯以至無窮
　　　　又一法每形視其邊數每邊當兩直角而減
　　　　四直角其存者即本形所當直角
　　論曰欲顯此理試于形中任作一㸃從此㸃向各
　　角俱作直線令每形所分角形之數如其邊數每
<pb:KR3f0047_WYG_001-58a>
　　　　一分形三角當二直角(本/題)其近㸃之處不論
　　　　幾角皆當四直角(本篇十/五之系)次減近㸃諸角即
　　　　是減四直角其存者則本形所當直角如上
　　　　第四形六邊中間任指一㸃從㸃向各角分
　　　　為六三角形每一分形三角六形共十八角
　　　　今于近㸃處減當四直角之六角所存近邊
　　十二角當八直角餘倣此
　一系凡諸種角形之三角并俱相等(本題/増)
<pb:KR3f0047_WYG_001-58b>
　二系凡兩腰等角形若腰間直角則餘兩角每當直
　角之半腰間鈍角則餘兩角俱小于半直角腰間鋭
　角則餘兩角俱大于半直角
　三系平邊角形每角當直角三分之二
　四系平邊角形若從一角向對邊作垂線分為兩角
　形此分形各有一直角在垂線之下兩旁則垂線之
　上兩旁角每當直角三分之一其餘兩角每當直角
　三分之二
<pb:KR3f0047_WYG_001-59a>
　　　　　増從三系可分一直角為三平分其法任
　　　　　于一邊立平邊角形次分對直角一邊為
　　兩平分從此邊對角作垂線即所求如上圖甲乙
　　丙直角求三分之先于甲乙線上作甲乙丁平邊
　　角形(本篇/一)次平分甲丁于戊(本篇/九)末作乙戊直線
　第三十三題
兩平行相等線之界有兩線聯之其兩線亦平行亦相
　等
<pb:KR3f0047_WYG_001-59b>
　　　　解曰甲乙丙丁兩平行相等線有甲丙乙丁
　　　　兩線聯之題言甲丙乙丁亦平行相等線
　　　　論曰試作甲丁對角線為甲乙丙丁之交加
　線即乙甲丁丙丁甲相對兩内角等(本篇/卄九)又甲丁線
　上下兩角形之甲乙丙丁兩邊既等甲丁同邊則對
　乙甲丁角之乙丁線與對丙丁甲角之甲丙線亦等
　(本篇/卄九)而乙丁甲與丙甲丁兩角亦等也(本篇/四)此兩角
　者甲丙乙丁之内相對角也兩角既等則甲丙乙丁
<pb:KR3f0047_WYG_001-60a>
　兩線必平行(本篇/廿七)
　第三十四題
凡平行線方形每相對兩邊線各等每相對兩角各等
　對角線分本形兩平分
　　　　解曰甲乙丁丙平行方形(界説/三五)題言甲乙與
　　　　丙丁兩線甲丙與乙丁兩線各等又言乙與
　　　　丙兩角乙甲丙與丙丁乙兩角各等又言若
　作甲丁對角線即分本形為兩平分
<pb:KR3f0047_WYG_001-60b>
　論曰甲乙與丙丁既平行則乙甲丁與丙丁甲相對
　之兩内角等(本篇/廿九)甲丙與乙丁既平行則乙丁甲與
　丙甲丁相對之兩内角等(本篇/廿九)甲乙丁角形之乙甲
　丁乙丁甲兩角與甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁兩
　角既各等甲丁同邊則甲乙與丙丁甲丙與乙丁俱
　等也而丙角與相對之乙角亦等矣(本篇/廿六)又乙丁甲
　角加丙丁甲角與丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙
　甲丙與丙丁乙相對兩角亦等也(公論/二)又甲乙丁甲
<pb:KR3f0047_WYG_001-61a>
　丁丙兩角形之甲乙乙丁兩邊與丁丙丙甲兩邊各
　等腰間之乙角與丙角亦等則兩角形必等(本篇/四)而
　甲丁線分本形為兩平分
　第三十五題
兩平行方形若同在平行線内又同底則兩形必等
　　　　解曰甲乙丙丁兩平行線内有丙丁戊甲與
　　　　丙丁乙巳兩平行方形同丙丁底題言此兩
　　　　形等等者不謂腰等角等謂所函之地等後
<pb:KR3f0047_WYG_001-61b>
　言形等者多倣此
　先論曰設己在甲戊之内其丙丁戊甲與丙丁乙己
　皆平行方形丙丁同底則甲戊與丙丁巳乙與丙丁
　各相對之兩邊各等(本篇/三四)而甲戊與己乙亦等(公論/一)
　試于甲戊己乙兩線各減己戊即甲己與戊乙亦等
　(公論/三)而甲丙與戊丁元等(本篇/三四)乙戊丁外角與己甲
　丙内角又等(本篇/廿九)則乙戊丁與己甲丙兩角形必等
　矣(本篇/四)次于兩角形每加一丙丁戊己無法四邊形
<pb:KR3f0047_WYG_001-62a>
　則丙丁戊甲與丙丁乙己兩平行方形等也(公論/二)
　　　　次論曰設己戊同㸃依前甲戊與戊乙等乙
　　　　戊丁與戊甲丙兩角形等(本篇/四)而每加一戊
　　　　丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁乙戊兩平行
　　　　方形必等(公論/二)
　　　　後論曰設己㸃在戊之外而丙己與戊丁兩
　　　　線交于庚依前甲戊與己乙兩線等而每加
　　　　一戊己線即戊乙與甲己兩線亦等(公論/二)因
<pb:KR3f0047_WYG_001-62b>
　　　　顯己甲丙與乙戊丁兩角形亦等(本篇/四)次每
　　　　減一己戊庚角形則所存戊庚丙甲與乙己
　　　　庚丁兩無法四邊形亦等(公論/三)次于兩無法
　　　　形每加一庚丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁
　乙己兩平行方形必等(公論/二)
　第三十六題
兩平行線内有兩平行方形若底等則形亦等
　解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊己與庚辛丁
<pb:KR3f0047_WYG_001-63a>
　　　　乙兩平行方形而丙戊與辛丁兩底等題言
　　　　兩形亦等
　　　　論曰試自丙至庚戊至乙各作直線相聯其
　丙戊庚乙各與辛丁等則丙戊與庚乙亦等(本篇/卅四)庚
　乙與丙戊既平行線則庚丙與乙戊亦平行線(本篇/卅三)
　而甲丙戊己與庚丙戊乙兩平行方形同丙戊底者
　等矣(本篇/三五)庚辛丁乙與庚丙戊乙兩平行方形同庚
　乙底者亦等矣(本篇/三五)既爾則庚辛丁乙與甲丙戊己
<pb:KR3f0047_WYG_001-63b>
　亦等(公論/一)
　第三十七題
兩平行線内有兩三角形若同底則兩形必等
　　　　解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁乙丙
　　　　丁兩角形同丙丁底題言兩形必等
　　　　論曰試自丁至戊作直線與甲丙平行次自
　丁至己作直線與乙丙平行(本篇/三一)夫甲丙丁戊乙丙
　丁己兩平行方形在甲乙丙丁兩平行線内同丙丁
<pb:KR3f0047_WYG_001-64a>
　　　　底既等(本篇/三五)則甲丙丁角形為甲丙丁戊方
　　　　形之半與乙丙丁角形為乙丙丁己方形之
　　　　半者(甲丁乙丁兩對角線平/分兩方形見本篇卅四)亦等(公論/七)
　第三十八題
兩平行線内有兩三角形若底等則兩形必等
　　　　解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊與乙
　　　　己丁兩角形而丙戊與己丁兩底等題言兩
　　　　形必等
<pb:KR3f0047_WYG_001-64b>
　論曰試自庚至戊辛至丁各作直線與甲丙乙己平
　行(本篇/卅一)其甲丙戊庚與乙己丁辛兩平行方形既等
　(本篇/卅六)則甲丙戊與乙己丁兩角形為兩方形之半者
　(本篇/卅四)亦等(公論/七)
　　　　　増凡角形任于一邊兩平分之向對角作
　　　　　直線即分本形為兩平分
　　論曰甲乙丙角形試以乙丙邊兩平分于丁(本篇/十)
　　自丁至甲作直線即甲丁線分本形為兩平分何
<pb:KR3f0047_WYG_001-65a>
　　者試于甲角上作直線與乙丙平行(本篇/卅一)則甲乙
　　丁甲丁丙兩角形在兩平行線内兩底等兩形亦
　　等(本/題)
　　　　　二増題凡角形任于一邊任作一㸃求從
　　　　　㸃分本形為兩平分
　　　　　法曰甲乙丙角形從丁㸃求兩平分先自
　　丁至相對甲角作甲丁直線次平分乙丙線于戊
　　(本篇/十)作戊己線與甲丁平行(本篇/卅一)末作己丁直線
<pb:KR3f0047_WYG_001-65b>
　　即分本形為兩平分
　　論曰試作甲戊直線即甲戊己己丁戊兩角形在
　　兩平行線内同己戊底者等而每加一己戊丙形
　　則己丁丙與甲戊丙兩角形亦等(公論/二)夫甲戊丙
　　為甲乙丙之半(本題/増)則己丁丙亦甲乙丙之半
　第三十九題
兩三角形其底同其形等必在兩平行線内
　解曰甲乙丙與丁丙乙兩角形之乙丙底同其形復
<pb:KR3f0047_WYG_001-66a>
　　　　　等題言在兩平行線内者葢云自甲至丁
　　　　　作直線必與乙丙平行
　　　　　論曰如云不然令從甲别作直線與乙丙
　　　　　平行(本篇/卅一)必在甲丁之上或在其下矣設
　在上為甲戊而乙丁線引出至戊即作戊丙直線是
　甲乙丙宜與戊丙乙兩角形等矣(本篇/卅七)夫甲乙丙與
　丁丙乙既等而與戊丙乙復等是全與其分等也(公/論)
　(九/)設在甲丁下為甲己即作己丙直線是己丙乙與
<pb:KR3f0047_WYG_001-66b>
　丁丙乙亦等如前駁之
　第四十題
兩三角形其底等其形等必在兩平行線内
　　　　　解曰甲乙丙與丁戊己兩角形之乙丙與
　　　　　戊己兩底等其形亦等題言在兩平行線
　　　　　内者葢云自甲至丁作直線必與乙己平
　行
　論曰如云不然令從甲别作直線與乙己平行(本篇/卅一)
<pb:KR3f0047_WYG_001-67a>
　必在甲丁之上或在其下矣設在上為甲庚而戊丁
　線引出至庚即作庚己直線是甲乙丙宜與庚戊己
　兩角形等矣(本篇/三八)夫甲乙丙與丁戊己既等而與庚
　戊己復等是全與其分等也(公論/九)設在甲丁下為甲
　辛即作辛己直線是辛戊己與丁戊己亦等如前駁之
　第四十一題
兩平行線内有一平行方形一三角形同底則方形倍
　大于三角形
<pb:KR3f0047_WYG_001-67b>
　　　　解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁戊方
　　　　形乙丁丙角形同丙丁底題言方形倍大于
　　　　角形
　論曰試作甲丁直線分方形為兩平分則甲丙丁與
　乙丁丙兩角形等矣(本篇/卅七)夫甲丙丁戊倍大于甲丙
　丁(本篇/卅三)必倍大于乙丁丙
　第四十二題
有三角形求作平行方形與之等而方形角有與所設
<pb:KR3f0047_WYG_001-68a>
　角等
　　　　法曰設甲乙丙角形丁角求作平行方形與
　　　　甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為兩平
　　　　分如乙丙邊平分于戊(本篇/十)次作丙戊己角
　與丁角等(本篇/廿)次自甲作直線與乙丙平行(本篇/卅一)而
　與戊己線遇于己末自丙作直線與戊己平行為丙
　庚(本篇/卅一)而與甲己線遇于庚則得己戊丙庚平行方
　形與甲乙丙角形等
<pb:KR3f0047_WYG_001-68b>
　論曰試自甲至戊作直線其甲戊丙角形與己戊丙
　庚平行方形在兩平行線内同底則己戊丙庚倍大
　于甲戊丙矣(本篇/四一)夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙(本篇/卅八)
　(増/)即與己戊丙庚等(公論/六)
　第四十三題
凡方形對角線旁兩餘方形自相等
　解曰甲乙丙丁方形有甲丙對角線題言兩旁之乙
　壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形(界説/卅六)必等
<pb:KR3f0047_WYG_001-69a>
　　　　論曰甲乙丙甲丙丁兩角形等(本篇/卅四)甲戊庚
　　　　甲庚辛兩角形亦等(本篇/卅四)而于甲乙丙減甲
　　　　戊庚于甲丙丁減甲庚辛則所存乙丙庚戊
　　　　與庚丙丁辛兩無法四邊形亦等矣(公論/三)又
　　　　庚壬丙己角線方形之庚丙己庚丙壬兩角
　　　　形等(本篇/三四)而于兩無法四邊形每減其一則
　所存乙壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形安得不等(公論/三)
　第四十四題
<pb:KR3f0047_WYG_001-69b>
一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角
　有與所設角等
　　　　　法曰設甲線乙角形丙角求于甲線上作
　　　　　平行方形與乙角形等而有丙角先作丁
　　　　　戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚
　　　　　角與丙角等(本篇/四二)次于庚己線引長之作
　　　　　己辛線與甲等次作辛壬線與戊己平行
　　　　　(本篇/三一)次于丁戊引長之與辛壬線遇于壬
<pb:KR3f0047_WYG_001-70a>
　次自壬至己作對角線引出之又自丁庚引長之與
　對線角遇于癸次自癸作直線與庚辛平行又于壬
　辛引長之與癸線遇于子末于戊己引長之至癸子
　線得丑即己丑子辛平行方形如所求
　論曰此方形之己辛線與甲等而辛己丑角為戊己
　庚之交角(本篇/十五)則與丙等又本形與戊己庚丁同為
　餘方形等(本篇/四三)則與乙角形等
　第四十五題
<pb:KR3f0047_WYG_001-70b>
有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有
　與所設角等
　　　　　　法曰設甲乙丙五邊形丁角求作平行
　　　　　　方形與五邊形等而有丁角先分五邊
　　　　　　形為甲乙丙三三角形次作戊己庚辛
　　　　　　平行方形與甲等而有丁角(本篇/四二)次于
　戊辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形
　與乙等而有丁角(本篇/四四)末復引前線作壬癸子丑平
<pb:KR3f0047_WYG_001-71a>
　行方形與丙等而有丁角(本篇/四四)即此三形并為一平
　行方形與甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至
　無窮俱倣此法
　論曰戊己庚與辛庚癸兩角等而每加一己庚辛角
　即辛庚癸己庚辛兩角定與己庚辛戊己庚兩角等
　夫己庚辛戊己庚是兩平行線内角與兩直角等也
　(本篇/廿九)則己庚辛辛庚癸亦與兩直角等而己庚庚癸
　為一直線也(本篇/十四)又戊辛庚與戊己庚兩對角等而
<pb:KR3f0047_WYG_001-71b>
　辛壬癸與辛庚癸兩對角亦等則戊己庚辛庚辛壬
　癸皆平行方形也(本篇/卅四)壬癸子丑依此推顯(本篇/三十)即
　與戊己癸壬并為一平行方形矣
　　増題兩直線形不等求相減之較幾何
　　　　　　法曰甲與乙兩直線形甲大于乙以乙
　　　　　　減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行
　　　　　　方形與甲等次于丙丁線上依丁角作
　　　　　　丁丙辛庚平行方形與乙等(本/題)即得辛
<pb:KR3f0047_WYG_001-72a>
　　庚戊己為相減之較矣何者丁丙己戊之大于丁
　　丙辛庚較餘一辛庚戊己也則甲大于乙亦辛庚
　　戊己也
　第四十六題
一直線上求立直角方形
　　　　法曰甲乙線上求立直角方形先于甲乙兩
　　　　界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等
　(本篇/十一)次作丁丙線相聯即甲乙丙丁為直角方形
<pb:KR3f0047_WYG_001-72b>
　論曰甲乙兩角俱直角則丁甲丙乙為平行線(本篇/廿八)
　此兩線自相等則丁丙與甲乙亦平行線(本篇/三三)而甲
　乙丙丁四線俱平行俱相等又甲乙俱直角則相對
　丁丙亦俱直角(本篇/卅四)而甲乙丙丁定為四直角方形
　第四十七題
凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊
　上所作兩直角方形并等
　解曰甲乙丙角形于對乙甲丙直角之乙丙邊上作
<pb:KR3f0047_WYG_001-73a>
　　　　　　乙丙丁戊直角方形(本篇/四六)題言此形與
　　　　　　甲乙邊上所作甲乙己庚及甲丙邊上
　　　　　　所作甲丙辛壬兩直角方形并等
　　　　　　論曰試從甲作甲癸直線與乙戊丙丁
　　　　　　平行(本篇卅一/)分乙丙邊于子次自甲
　　　　　　至丁至戊各作直線末自乙至辛自丙
　至己各作直線其乙甲丙與乙甲庚既皆直角即庚
　甲甲丙是一直線(本篇/十四)依顯乙甲甲壬亦一直線又
<pb:KR3f0047_WYG_001-73b>
　丙乙戊與甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即
　甲乙戊與丙乙己兩角亦等(公論/二)依顯甲丙丁與乙
　丙辛兩角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊兩邊與
　丙乙己角形之己乙乙丙兩邊等甲乙戊與丙乙己
　兩角復等則對等角之甲戊與丙己兩邊亦等而此
　兩角形亦等矣(本篇/四)夫甲乙己庚直角方形倍大于
　同乙己底同在平行線内之丙乙己角形(本篇/四一)而乙
　戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行線内
<pb:KR3f0047_WYG_001-74a>
　之甲乙戊角形則甲乙己庚不與乙戊癸子等乎(公/論)
　(六/)依顯甲丙辛壬直角方形與丙丁癸子直角形等
　則乙戊丁丙一形與甲乙己庚甲丙辛壬兩形并等
　矣
　　　　　一増凡直角方形之對角線上作直角方
　　　　　形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之
　　甲丙線上作直角方形倍大于甲乙丙丁形
　　二増題設不等兩直角方形如一以甲為邊一以
<pb:KR3f0047_WYG_001-74b>
　　乙為邊求别作兩直角方形自相等而并之又與
　　元設兩形并等
　　　　　法曰先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直
　　　　　角而丙丁線與乙等次作戊丁線相聨末
　　于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己
　　戊己丁兩腰遇于己(公論/十一)而等(本篇/六)即己戊己丁
　　兩線上所作兩直角方形自相等而并之又與丙
　　戊丙丁上所作兩直角方形并等
<pb:KR3f0047_WYG_001-75a>
　　論曰己丁戊己戊丁兩角既皆半于直角則丁己
　　戊為直角(本篇/卅二)而對直角之丁戊線上所作直角
　　方形與兩腰線上所作兩直角方形并等矣(本/題)己
　　戊與己丁既等則其上所作兩直角方形自相等
　　矣又丁戊線上所作直角方形與丙丁丙戊線上
　　所作兩直角方形并既等則己戊己丁上兩直角
　　方形并與丙戊丙丁上兩直角方形并亦等
　　三増題多直角方形求并作一直角方形與之等
<pb:KR3f0047_WYG_001-75b>
　　　　　　法曰如五直角方形以甲乙丙丁戊為
　　　　　　邊任等不等求作一直角方形與五形
　　　　　　并等先作己庚辛直角而己庚線與甲
　　　　　　等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己
　　　　　　辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線
　　旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線旋
　　作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線題言
　　己子線上所作直角方形即所求
<pb:KR3f0047_WYG_001-76a>
　　論曰己辛上作直角方形與甲乙兩形并等(本/題)己
　　壬上作直角方形與己辛及丙兩形并等餘倣此
　　推顯可至無窮
　　　　　四増三邊直角形以兩邊求第三邊長短
　　　　　之數
　　　　　法曰甲乙丙角形甲為直角先得甲乙甲
　　丙兩邊長短之數如甲乙六甲丙八求乙丙邊長
　　短之數其甲乙甲丙上所作兩直角方形并既與
<pb:KR3f0047_WYG_001-76b>
　　乙丙上所作直角方形等(本/題)則甲乙之羃(自乘之/數曰羃)
　　得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙
　　之羃亦百百開方得十即乙丙數十也又設先得
　　甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之數其甲
　　乙甲丙上兩直角方形并既與乙丙上直角方形
　　　　　等則甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百
　　　　　百減三十六得甲丙之羃六十四六十四
　　　　　開方得八即甲丙八也求甲乙倣此　此
<pb:KR3f0047_WYG_001-77a>
　　以開方盡實者為例其不盡實者自具筭家分法
　第四十八題
凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊所作兩直
　角方形并等則對一邊之角必直角
　　　　解曰此反前題如甲乙丙角形其甲丙邊上
　　　　所作直角方形與甲乙乙丙邊上所作兩直
　角方形并等題言甲乙丙角必直角
　論曰試于乙上作甲乙丁直角而乙丁與乙丙兩線
<pb:KR3f0047_WYG_001-77b>
　等次作丁甲線相聯其甲乙丁既直角則甲丁上直
　角方形與甲乙乙丁上兩直角方形并等(本篇/四七)而甲
　乙乙丁上兩直角方形并與甲乙乙丙上兩直角方
　形并又等(甲乙同乙丁/乙丙等故)即丁甲上直角方形與甲丙
　上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁兩腰
　與甲乙丙角形之甲乙乙丙兩腰既等而丁甲甲丙
　兩底又等則對底線之兩角亦等(本篇/八)甲乙丁既直
　角即甲乙丙亦直角
<pb:KR3f0047_WYG_001-78a>
　
　
　
　
　
　
　
　
<pb:KR3f0047_WYG_001-78b>
　
　
　
　
　
　
　
　幾何原本卷一

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#+TITLE: 幾何原本
#+DATE: 2015-08-24 23:11:01.955877
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#+PROPERTY: BASEEDITION WYG    
#+PROPERTY: JUAN 卷二之首
<pb:KR3f0047_WYG_002-1a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷二之首
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇譯
　　界説二則
　第一界
凡直角形之兩邊函一直角者為直角形之矩線
　　　　如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此兩邊即
　　　　知直角形大小之度今别作戊線已線與甲
<pb:KR3f0047_WYG_002-1b>
　　　　乙乙丙各等亦即知甲乙丙丁直角形大小
　　　　之度則戊偕已兩線為直角形之矩線
　　　　此例與筭法通如上圖一邊得三一邊得四
　　　　相乘得十二則三偕四兩邊為十二之矩數
　凡直角諸形之内四角皆直故不必更言四邊及平
　行線止名為直角形省文也
　凡直角諸形不必全舉四角止舉對角二字即指全
　形如甲乙丙丁直角形止舉甲丙或乙丁亦省文也
<pb:KR3f0047_WYG_002-2a>
　第二界
諸方形有對角線者其兩餘方形任偕一角線方形為
　磬折形
　甲乙丙丁方形任直斜角作甲丙對角線從庚點作
　戊己辛壬兩線與方形邊平行而分本形為四方形
　　　　　其辛己庚乙兩形為餘方形辛戊己壬兩
　　　　　形為角線方形(一卷界/説三六)兩餘方形任偕一
　　　　　角線方形為磬折形如辛己庚乙兩餘方
<pb:KR3f0047_WYG_002-2b>
　　　　　形偕己壬角線方形同在癸子丑圜界内
　　　　　者是癸子丑磬折形也用辛戊角線方形
　　　　　倣此
　
　
　
　
　幾何原本卷二之首
#+PROPERTY: JUAN 卷二
<pb:KR3f0047_WYG_002-3a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷二
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇撰
　第一題
兩直線任以一線任分為若干分其兩元線矩内直角
　形與不分線偕諸分線矩内諸直角形并等
　　　　　解曰甲與乙丙兩線如以乙丙三分之為
　　　　　乙丁丁戊戊丙題言甲偕乙丙矩線内直
<pb:KR3f0047_WYG_002-3b>
　角形與甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩線内直
　角形并等
　　　　　論曰試作乙己直角形在乙丙偕等甲之
　　　　　己丙矩線内(作法于乙界作庚乙丙界作/己丙兩垂線俱與甲等為平)
　　　　　(行次作庚己直/線與乙丙平行)次于丁戊兩點作辛丁壬
　戊兩垂線與庚乙己丙平行(一卷/卅三)其辛丁與庚乙壬
　戊與己丙既平行則辛丁與壬戊亦平行而辛丁壬
　戊與己丙等即亦與甲等(一卷/卅四)如此則乙辛直角形
<pb:KR3f0047_WYG_002-4a>
　在甲偕乙丁矩線内丁壬直角形在甲偕丁戊矩線
　内戊己直角形在甲偕戊丙矩線内并之則三矩内
　直角形與甲偕乙丙兩元線矩内直角形等
　　注曰二卷前十題皆言線之能也(能者謂其上能/為直角形也如)
　　(十尺線其上能為/百尺方形之類)其説與筭數最近故九卷之十
　　四題俱以數明此十題之理今未及詳因題意難
　　顯畧用數明之如本題設兩數當兩線為六為十
　　以十任三分之為五為三為二六乘十為六十之
<pb:KR3f0047_WYG_002-4b>
　　一大實與六乘五為三十及六乘三為十八六乘
　　二為十二之三小實并等
　第二題
一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分
　線兩矩内直角形并等
　　　　　解曰甲乙線任兩分于丙題言甲乙上直
　　　　　角方形與甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙兩矩
　　　　　線内直角形并等
<pb:KR3f0047_WYG_002-5a>
　論曰試于甲乙線上作甲丁直角方形從丙點作己
　丙垂線與甲戊乙丁平行(一卷/卅一)其甲戊與甲乙既等
　(一卷/卅四)則甲己直角形在甲乙甲丙矩線内乙丁與甲
　乙既等則丙丁直角形在甲乙丙乙矩線内而此兩
　形并與甲丁直角方形等
　　　又論曰試别作丁線與甲乙等其甲乙線既任
　　　分于丙則甲乙偕丁矩線内直角形(即甲乙上/直角方形)
　　　與甲丙偕丁丙乙偕丁兩矩線内直角形并等
<pb:KR3f0047_WYG_002-5b>
　　(本篇/一)
　　注曰以數明之設十數任兩分之為七為三十乘
　　七為七十及十乘三為三十之兩小實與十自之
　　百一大羃等
　第三題
一直線任兩分之其元線任偕一分線矩内直角形與
　分餘線偕一分線矩内直角形及一分線上直角方
　形并等
<pb:KR3f0047_WYG_002-6a>
　　　　　　解曰甲乙線任兩分于丙題言元線甲
　　　　　　乙任偕一分線如甲丙矩内直角形(不/論)
　　　　　　(甲丙為長/分為短分)與分餘丙乙偕甲丙矩線内
　　　　　　直角形及甲丙上直角方形并等
　　　　　　論曰試作甲丁直角方形從乙界作乙
　　　　　　巳垂線與甲戊平行(一卷/卅一)而于戊丁引
　長之遇于己其甲戊與甲丙等則甲己直角形在元
　線甲乙偕一分線甲丙矩内丙丁與甲丙等則丙己
<pb:KR3f0047_WYG_002-6b>
　直角形在一分線甲丙偕分餘線丙乙矩内而甲己
　直角形與甲丙丙乙矩線内丙己直角形及甲丙上
　甲丁直角方形并等
　　　又論曰試别作丁線與一分線甲丙等其甲乙
　　　線既任分于丙則甲乙偕丁矩線内直角形(即/甲)
　　　(乙偕甲丙矩/線内直角形)與丁偕丙乙(即甲丙/偕丙乙)丁偕甲丙(即/甲)
　(丙上直/角方形)兩矩線内直角形并等(本篇/一)
　　注曰以數明之設十數任兩分之為七為三如前
<pb:KR3f0047_WYG_002-7a>
　　圖則十乘七為七十與七乘三之實二十一及七
　　自之羃四十九并等如後圖十乘三為三十與七
　　乘三之實二十一及三之羃九并等
　第四題
一直線任兩分之其元線上直角方形與各分上兩直
　角方形及兩分互偕矩線内兩直角形并等
　解曰甲乙線任兩分于丙題言甲乙線上直角方形
　與甲丙丙乙線上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙
<pb:KR3f0047_WYG_002-7b>
　　　　　偕甲丙矩線内兩直角形并等
　　　　　論曰試于甲乙線上作甲丁直角方形次
　　　　　作乙戊對角線次從丙作丙己線與乙丁
　平行遇對角線于庚末從庚作辛壬線與甲乙平行
　而分本形為四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊
　兩邊等而甲乙戊與甲戊乙兩角亦等(一卷/五)夫甲乙
　戊形之三角并與兩直角等(一卷/卅二)而甲為直角即甲
　乙戊甲戊乙皆半直角(一卷卅/之二系)依顯丁乙戊角形之
<pb:KR3f0047_WYG_002-8a>
　丁乙戊丁戊乙兩角亦皆半直角則戊己庚外角與
　内角丁等為直角(一卷/卅九)而己戊度既半直角則己庚
　戊等為半直角矣角既等則己庚己戊兩邊亦等(一/卷)
　(六/)庚辛辛戊亦等(一卷/卅四)而辛巳為直角方形也依顯
　丙壬亦直角方形也又庚辛與甲丙兩對邊等(一卷/卅四)
　而乙丙與庚丙俱為直角方形邊亦等則辛己為甲
　丙線上直角方形丙壬為丙乙線上直角方形也又
　甲庚及庚丁兩直角形各在甲丙丙乙矩線内也則
<pb:KR3f0047_WYG_002-8b>
　甲丁直角方形與甲丙丙乙兩線上兩直角方形及
　兩線矩内兩直角形并等矣
　系從此推知凡直角方形之角線形皆直角方形
　　　又論曰甲乙線既任分于丙則元線甲乙上直
　　　角方形與元線偕各分線矩内兩直角形并等
　　　(本篇/二)又甲乙偕甲丙矩線内直角形與甲丙偕
　丙乙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等(本篇/三)
　甲乙偕丙乙矩線内直角形與丙乙偕甲丙矩線内
<pb:KR3f0047_WYG_002-9a>
　直角形及丙乙上直角方形并等(本篇/三)則甲乙上直
　角方形與甲丙丙乙上兩直角方形及甲丙偕丙乙
　丙乙偕甲丙矩線内兩直角形并等
　　注曰以數明之設十數任兩分之為七為三十之
　　羃百與七之羃四十九三之羃九及三七互乘之
　　實兩二十一并等
　第五題
一直線兩平分之又任兩分之其任兩分線矩内直角
<pb:KR3f0047_WYG_002-9b>
　形及分内線上直角方形并與平分半線上直角方
　形等
　　　　　解曰甲乙線兩平分于丙又任兩分于丁
　　　　　其丙丁為分内線(丙丁線者丙乙所以大/于丁乙之較又甲丁所)
　　　　　(以大于甲丙之/較故曰分内線)題言甲丁丁乙矩線内直
　　　　　角形及分内線丙丁上直角方形并與丙
　　　　　乙線上直角方形等
　論曰試于丙乙線上作丙己直角方形次作乙戊對
<pb:KR3f0047_WYG_002-10a>
　　　　　角線從丁作丁庚線與乙己平行遇對角
　　　　　線于辛次從辛作壬癸線與丙乙平行次
　　　　　從甲作甲子線與丙戊平行末從壬癸線
　　　　　引長之遇于子夫丁壬癸庚皆直角方形
　　　　　(本篇四/之系)而辛丁與丁乙兩線等(一卷/卅四)癸辛
　與丙丁兩線等則甲辛直角形在任分之甲丁丁乙
　矩線内而癸庚為分内線丙丁上直角方形也今欲
　顯甲辛直角形及癸庚直角方形并與丙己直角方
<pb:KR3f0047_WYG_002-10b>
　形等者于丙辛辛己相等之兩餘方形(一篇/四三)每加一
　丁壬直角方形即丙壬及丁己兩直角形等矣而甲
　癸與丙壬兩形同在平行線内又底等即形亦等(一/卷)
　(卅/六)則甲癸與丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形
　則丑寅卯罄折形豈不與甲辛等次于罄折形又加
　一癸庚直角方形豈不與丙巳直角方形等也而甲
　辛癸庚兩形并亦與丙己等也則甲丁丁乙矩線内
　直角形及丙丁上直角方形并與丙乙上直角方形
<pb:KR3f0047_WYG_002-11a>
　等
　　注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之
　　為八為二則三為分内數(三者五所以大于二之/較又八所以大于五之)
　　(較/)二八之實十六三之羃九與五之羃二十五等
　第六題
一直線兩平分之又任引増一直線共為一全線其全
　線偕引増線矩内直角形及半元線上直角方形并
　與半元線偕引増線上直角方形等
<pb:KR3f0047_WYG_002-11b>
　　　　　解曰甲乙線兩平分于丙又從乙引長之
　　　　　増乙丁與甲乙通為一全線題言甲丁偕
　　　　　乙丁矩線内直角形及半元線丙乙上直
　　　　　角方形并與丙丁上直角方形等
　論曰試于丙丁上作丙戊直角方形次作丁己對角
　線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線于辛次從
　辛作壬癸線與丙丁平行次從甲作甲子線與丙己
　平行末從壬癸線引長之遇于子夫乙壬癸庚皆直
<pb:KR3f0047_WYG_002-12a>
　角方形(本篇四/之系)而乙丁與丁壬兩線等(一卷/卅四)癸辛與
　丙乙兩線等則甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩線内
　而癸庚為丙乙上直角方形也今欲顯甲壬直角形
　及癸庚直角方形并與丙戊直角方形等者試觀甲
　癸與丙辛兩直角形同在平行線内又底等即形亦
　等(一卷/卅六)而丙辛與辛戊等(一卷/四三)則辛戊與甲癸亦等
　即又每加一丙壬直角形則丑寅卯磬折形與甲壬
　等夫磬折形加一癸庚形本與丙戊直角方形等也
<pb:KR3f0047_WYG_002-12b>
　即甲壬癸庚兩形并亦與丙戊等也則甲丁乙丁矩
　線内直角形及丙乙上直角方形并豈不與丙丁上
　直角方形等
　　注曰以數明之設十數兩平分之各五又引増二
　　共十二二乘之為二十四及五之羃二十五與七
　　之羃四十九等
　第七題
一直線任兩分之其元線上及任用一分線上兩直角
<pb:KR3f0047_WYG_002-13a>
　方形并與元線偕一分線矩内直角形二及分餘線
　上直角方形并等
　　　　　解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙上
　　　　　及任用一分線如甲丙上兩直角方形并
　　　　　(不論甲丙為/長分為短分)與甲乙偕甲丙矩内直角形
　　　　　二及分餘線丙乙上直角方形并等
　　　　　論曰試于甲乙上作甲丁直角方形次作
　　　　　乙戊對角線從丙作丙己線與乙丁平行
<pb:KR3f0047_WYG_002-13b>
　遇對角線于庚末從庚作辛壬線與甲乙平行夫辛
　己丙壬皆直角方形(本篇四/之系)而辛庚與甲丙等(一卷/卅四)
　即辛己為甲丙上直角方形也又甲戊與甲乙等即
　甲己直角形在甲乙偕甲丙矩線内也又戊丁丁壬
　與甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙
　矩線内也夫甲己己壬兩直角形(即癸子丑/罄折形)及丙壬
　直角方形并本與甲丁直角方形等今于甲己辛丁
　兩直角形并加一丙壬直角方形即與甲丁直角方
<pb:KR3f0047_WYG_002-14a>
　　　　　形加一辛巳直角方形等矣則甲乙甲丙
　　　　　矩線内直角形二及丙乙上直角方形并
　　　　　與甲乙上直角方形及甲丙上直角方形
　　　　　并等也
　　　　　注曰以數明之設十數任分之為六為四
　　　　　如前圖十之羃百及六之羃三十六并與
　　十六互乘之兩實百二十及四之羃十六等如後
　　圖十之羃百及四之羃十六并與十四互乘之兩
<pb:KR3f0047_WYG_002-14b>
　　實八十及六之羃三十六等
　第八題
一直線任兩分之其元線偕初分線矩内直角形四及
　分餘線上直角方形并與元線偕初分線上直角方
　形等
　　　　　　解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙
　　　　　　偕初分線丙乙矩内直角形四(不論丙/乙為長)
　　　　　　(分為/短分)及分餘線甲丙上直角方形并與
<pb:KR3f0047_WYG_002-15a>
　　　　　　甲乙偕丙乙上直角方形等
　　　　　　論曰試以甲乙線引増至丁而乙丁與
　　　　　　丙乙等于全線上作甲戊直角方形次
　　　　　　作丁巳對角線從乙作乙庚線與丁戊
　　　　　　平行遇對角線于辛次從丙作丙壬線
　　　　　　與甲巳平行遇對角線于癸次從辛作
　　　　　　子丑線與甲丁平行遇丙壬于寅末從
　　　　　　癸作卯辰線與戊己平行遇乙庚于巳
<pb:KR3f0047_WYG_002-15b>
　　　　　　其卯壬寅巳乙丑俱角線方形(一卷卅/四之系)
　　　　　　而卯癸與甲丙兩線等(一卷/卅四)即卯壬為
　　　　　　甲丙上直角方形又寅辛與丙乙兩線
　等(一篇/卅四)即寅巳為丙乙上直角方形與乙丑等(丙乙/與乙)
　(丁等/故)又乙辛辛巳兩線亦各與丙乙等而甲辛子巳
　兩直角形各在甲乙丙乙矩線内即等(子辛與甲/乙等故)寅
　庚辛戊兩直角形亦各在甲乙丙乙矩線内即又等
　(寅辛辛丑與丙乙乙丁等辛庚/丑戊與等甲乙之子辛等故)寅巳既與乙丑等而
<pb:KR3f0047_WYG_002-16a>
　每加一癸庚即乙丑癸庚并與寅庚又等是甲辛一
　子巳二辛戊三乙丑四癸庚五五直角形并為午未
　申磬折形與元線甲乙偕初分線丙乙矩内直角形
　四等而午未申磬折形及卯壬直角方形本與甲戊
　直角方形等則甲乙乙丙矩線内直角形四及甲丙
　上直角方形并與甲乙偕丙乙上直角方形等
　　注曰以數明之設十數任分之為六為四如前圖
　　十六互乘之實四為二百四十及四之羃十六共
<pb:KR3f0047_WYG_002-16b>
　　二百五十六與十六之羃等如後圖十四互乘之
　　實四為一百六十及六之羃三十六共一百九十
　　六與十四之羃等
　第九題
一直線兩平分之又任兩分之任分線上兩直角方形
　并倍大于平分半線上及分内線上兩直角方形并
　解曰甲乙線平分于丙又任分于丁題言甲丁丁乙
　上兩直角方形并倍大于平分半線甲丙上分内線
<pb:KR3f0047_WYG_002-17a>
　　　　　丙丁上兩直角方形并
　　　　　論曰試于丙上作丙戊垂線與甲丙等次
　　　　　作甲戊戊乙兩腰次從丁作丁己垂線遇
　　　　　戊乙于己從己作己庚線與甲乙平行遇
　戊丙于庚末作甲己線其甲丙戊角形之甲丙丙戊
　兩腰等即丙戊甲丙甲戊兩角亦等(一卷/五)而甲丙戊
　為直角即餘兩角皆半直角(一卷卅/二之系)依顯丙戊乙亦
　半直角又戊庚己角形之戊庚己角為戊丙乙之外
<pb:KR3f0047_WYG_002-17b>
　角即亦直角(一卷/廿九)而庚戊己半直角即庚己戊亦半
　直角(一卷卅/二之系)又庚戊己庚己戊兩角等即庚戊庚己
　兩腰亦等(一卷/六)依顯丁乙己角形之丁乙丁己兩腰
　亦等夫甲丙戊角形之丙為直角即甲戊線上直角
　方形與甲丙丙戊線上兩直角方形并等(一卷/四七)而甲
　丙丙戊上兩直角方形自相等即甲戊上直角方形
　倍大于甲丙上直角方形矣又戊庚己角形之庚為
　直角即戊己線上直角方形與庚戊庚己線上兩直
<pb:KR3f0047_WYG_002-18a>
　　　　　角方形并等(一卷/四七)而庚戊庚己上兩直角
　　　　　方形自相等即戊己上直角方形倍大于
　　　　　等庚己之丙丁上直角方形矣(庚己丙丁/為丙己直)
　　　　　(角形之對邊故/見一卷卅四)則是甲戊戊己上兩直角
　方形并倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也又甲
　己上直角方形既等于甲戊戊己上兩直角方形并
　又等于甲丁丁己上兩直角方形并(一篇/四七)則甲丁丁
　己上兩直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上兩直角
<pb:KR3f0047_WYG_002-18b>
　方形并矣而丁己與丁乙等則甲丁丁乙上兩直角
　方形并豈不倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也
　　注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之
　　為七為三分内數二其七之羃四十九及三之羃
　　九倍大于五之羃二十五及二之羃四
　第十題
一直線兩平分之又任引増一線共為一全線其全線
　上及引増線上兩直角方形并倍大于平分半線上
<pb:KR3f0047_WYG_002-19a>
　及分餘半線偕引増線上兩直角方形并
　　　　　　解曰甲乙直線平分于丙又任引増為
　　　　　　乙丁題言甲丁線上及乙丁線上兩直
　　　　　　角方形并倍大于甲丙線上及丙丁線
　　　　　　上兩直角方形并
　論曰試于丙上作丙戊垂線與甲丙等自戊至甲至
　乙各作腰線次從丁作己丁垂線引長之又從戊乙
　引長之遇于庚次作戊己線與丙丁平行末作甲庚
<pb:KR3f0047_WYG_002-19b>
　線依前題論推顯甲戊乙為直角丙戊乙為半直角
　即相對之戊庚己亦半直角(一卷/廿九)又己為直角(一卷/卅四)
　即己戊庚亦半直角(一卷/卅二)而己戊己庚兩腰必等(一/卷)
　(六/)依顯乙丁丁庚兩腰亦等夫甲戊上直角方形等
　于甲丙丙戊上兩直角方形并(一卷/四七)必倍大于甲丙
　上直角方形而戊庚上直角方形等于戊己己庚上
　兩直角方形并(一卷/四七)必倍大于對戊己邊之丙丁上
　直角方形(一卷/卅四)則甲戊戊庚上兩直角方形并倍大
<pb:KR3f0047_WYG_002-20a>
　于甲丙丙丁上兩直角方形并也又甲庚上直角方
　形等于甲戊戊庚上兩直角方形并亦等于甲丁丁
　庚上兩直角方形并則甲丁丁庚上兩直角方形并
　亦倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也而甲丁乙
　丁上兩直角方形并倍大于甲丙丙丁上兩直角方
　形并矣(丁庚與乙/丁等故)
　　注曰以數明之設十數平分之各五又任増三為
　　十三十三之羃一百六十九及三之羃九倍大于
<pb:KR3f0047_WYG_002-20b>
　　五之羃二十五及八之羃六十四也
　第十一題
一直線求兩分之而元線偕初分線矩内直角形與分
　餘線上直角方形等
　　　　　　法曰甲乙線求兩分之而元線偕初分
　　　　　　小線矩内直角形與分餘大線上直角
　　　　　　方形等先于甲乙上作甲丙直角方形
　次以甲丁線兩平分于戊次作戊乙線次從戊甲引
<pb:KR3f0047_WYG_002-21a>
　増至己而戊己線與戊乙等末于甲乙線截取甲庚
　與甲己等即甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上
　直角方形等如所求
　論曰試于庚上作壬辛線與丁己平行次作己辛線
　與甲庚平行其壬庚與丙乙等即與甲乙等而庚丙
　直角形在甲乙偕庚乙矩線内也又甲庚與甲己等
　而甲為直角即己庚為甲庚上直角方形也(一卷/卅四)今
　欲顯庚丙直角形與己庚直角方形等者試觀甲丁
<pb:KR3f0047_WYG_002-21b>
　兩平分于戊而引増一甲己是丁己偕甲己矩線内
　直角形(即丁辛/直角形)及甲戊上直角方形并與等戊己之
　戊乙上直角方形等(本篇/六)夫戊乙上直角方形等于
　甲戊甲乙上兩直角方形并(一卷/四七)即丁辛直角形及
　　　　　　甲戊上直角方形并與甲戊甲乙上兩
　　　　　　直角方形并等矣次各減同用之甲戊
　　　　　　上直角方形即所存丁辛直角形不與
　甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各減同用
<pb:KR3f0047_WYG_002-22a>
　之甲壬直角形則所存己庚直角方形與庚丙直角
　形等而甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上直角
　方形等也
　　注曰此題無數可解説見九卷十四題
　第十二題
三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大于餘邊上兩
　直角方形并之較為鈍角旁任用一邊偕其引増線
　之與對角所下垂線相遇者矩内直角形二
<pb:KR3f0047_WYG_002-22b>
　　　　　解曰甲乙丙三邊鈍角形甲乙丙為鈍角
　　　　　從餘角如甲下一垂線與鈍角旁一邊如
　　　　　丙乙之引増線遇于丁為直角題言對鈍
　　　　　角之甲丙邊上直角方形大于甲乙乙丙
　　　　　邊上兩直角方形并之較為丙乙偕乙丁
　矩線内直角形二反説之則甲乙乙丙上兩直角方
　形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并與甲丙上直
　角方形等
<pb:KR3f0047_WYG_002-23a>
　　　　　論曰丙丁線既任分于乙即丙丁上直角
　　　　　方形與丙乙乙丁上兩直角方形及丙乙
　　　　　偕乙丁矩線内直角形二并等(本篇/四)此二
　　　　　率者每加一甲丁上直角方形即丙丁甲
　　　　　丁上兩直角方形并與丙乙乙丁甲丁上
　直角方形三及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等
　也夫甲丙上直角方形等于丙丁甲丁上兩直角方
　形并(一卷/四七)即亦等于丙乙乙丁甲丁上直角方形三
<pb:KR3f0047_WYG_002-23b>
　及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并也又甲乙線上
　直角方形既等于乙丁甲丁上兩直角方形并(一卷/四七)
　即甲丙上直角方形與甲乙丙乙上兩直角方形及
　丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等矣
　第十三題
三邊鋭角形之對鋭角邊上直角方形小于餘邊上兩
　直角方形并之較為鋭角旁任用一邊偕其對角所
　下垂線旁之近鋭角分線矩内直角形二
<pb:KR3f0047_WYG_002-24a>
　　　　　解曰甲乙丙三邊鋭角形從一角如甲向
　　　　　對邊乙丙下一垂線分乙丙于丁題言對
　　　　　甲丙乙鋭角之甲乙邊上直角方形小于
　　　　　乙丙甲丙邊上兩直角方形并之較為乙
　　　　　丙偕丁丙矩線内直角形二反説之則乙
　丙甲丙上兩直角方形并與甲乙上直角方形及乙
　丙偕丁丙矩線内直角形二并等
　論曰乙丙線既任分于丁即乙丙丁丙上兩直角方
<pb:KR3f0047_WYG_002-24b>
　　　　　形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及
　　　　　乙丁上直角方形并等(本篇/七)此二率者每
　　　　　加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁
　　　　　上直角方形三與乙丙偕丁丙矩線内直
　　　　　角形二及乙丁甲丁上兩直角方形并等
　也又甲丙上直角方形等于丁丙甲丁上兩直角方
　形并(一卷/四七)即乙丙甲丙上兩直角方形并與乙丙偕
　丁丙矩線内直角形二及乙丁甲丁上兩直角方形
<pb:KR3f0047_WYG_002-25a>
　并等也又甲乙上直角方形等于乙丁甲丁上兩直
　角方形并(一卷/四七)即乙丙甲丙上兩直角方形并與乙
　丙偕丁丙矩線内直角形二及甲乙上直角方形并
　等反説之則甲乙上直角方形小于乙丙甲丙上兩
　直角方形并者為乙丙偕丁丙矩線内直角形二也
　　注曰題中止論鋭角形不言直角鈍角形而直角
　　鈍角形中俱有兩鋭角(一卷十/七卅二)即對鋭角邊上形
　　亦同此論(如第二第/三圖是)但三鋭角形所作垂線任用
<pb:KR3f0047_WYG_002-25b>
　　一角而直角形必用直角鈍角形必用鈍角此為
　　異耳(直角鈍角形不用直/角鈍角不能作垂線)
　第十四題
有直線形求作直角方形與之等
　　　　　　　法曰甲直線無法四邊形求作直角
　　　　　　　方形與之等先作乙丁形與甲等而
　　　　　　　直角(一卷/四五)次任用一邊引長之如丁
　　　　　　　丙引之至己而丙己與乙丙等次以
<pb:KR3f0047_WYG_002-26a>
　丁巳兩平分于庚其庚點或在丙點或在丙點之外
　若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣(葢丙己與乙/丙等又與丙)
　(丁等而餘邊俱相等故乙丁/為直角方形見一卷卅四)若庚在丙外即以庚為
　心丁巳為界作丁辛巳半圜末從乙丙線引長之遇
　圜界于辛即丙辛上直角方形與甲等
　論曰試自庚至辛作直線其丁巳線既兩平分于庚
　又任兩分于丙則丁丙偕丙巳矩内直角形(即乙丁/直角形)
　(葢丙己與/乙丙等故)及庚丙上直角方形并與等庚巳之庚辛
<pb:KR3f0047_WYG_002-26b>
　上直角方形等(本篇/五)夫庚辛上直角方形等于庚丙
　丙辛上兩直角方形并(一卷/四七)即乙丁直角形及庚丙
　上直角方形并與庚丙丙辛上兩直角方形并等次
　各減同用之庚丙上直角方形則丙辛上直角方形
　與乙丁直角形等
　　増題凡先得直角方形之對角線所長于本形邊
　　之較而求本形邊
　　法曰直角方形之對角線所長于本形邊之較為
<pb:KR3f0047_WYG_002-27a>
　　　　　　甲乙而求本形邊先于甲乙上作甲丙
　　　　　　直角方形次作乙丁對角線又引長之
　　　　　　為丁戊線而丁戊與甲丁等即得乙戊
　　線如所求
　　論曰試于乙戊作戊己垂線從乙甲線引長之遇
　　于己其乙戊己既直角而戊乙己為半直角(一卷/卅二)
　　即戊己乙亦半直角而戊乙與戊己兩邊等(一卷/六)
　　次作己庚與戊乙平行作乙庚與戊己平行即戊
<pb:KR3f0047_WYG_002-27b>
　　庚形為戊乙邊上直角方形也末作戊甲線即丁
　　戊甲丁甲戊兩角等也(一卷/五)夫乙戊己丁甲己既
　　兩皆直角試每減一相等之丁戊甲丁甲戊角即
　　所存己戊甲己甲戊兩角必等而己戊己甲兩邊
　　必等(一卷/六)則乙己對角線大于乙戊邊之較為甲
　　乙矣　此増不在本書因其方形故類附于此
　
　幾何原本卷二

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#+TITLE: 幾何原本
#+DATE: 2015-08-24 23:11:01.977219
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#+PROPERTY: JUAN 卷三之首
<pb:KR3f0047_WYG_003-1a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷三之首
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇譯
　　界説十則
　第一界
凡圜之徑線等或從心至圜界線等為等圜
　　　　　　三卷將論圜之情故先為圜界説此解
　　　　　　圜之等者如上圖甲乙乙丙兩徑等或
<pb:KR3f0047_WYG_003-1b>
　　　　　　丁己戊庚從心至圜界等即甲己乙乙
　　　　　　庚丙兩圜等若下圖甲乙乙丙兩徑不
　等或丁己戊庚從心至圜界不等則兩圜亦不等矣
　第二界
凡直線切圜界過之而不與界交為切線
　　　　　甲乙線切乙己丁圜之界乙又引長之至
　　　　　丙而不與界交其甲丙線全在圜外為切
　　　　　線若戊己線先切圜界而引之至庚入圜
<pb:KR3f0047_WYG_003-2a>
　　　　　内則交線也
　第三界
凡兩圜相切而不相交為切圜
　甲乙兩圜不相交而相切于丙或切于外如第一圖
　　　　　　　　　　或切于内如第三圖其第二
　　　　　　　　　　第四圖則交圜也
　第四界
凡圜内直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距
<pb:KR3f0047_WYG_003-2b>
　心逺近之度
　　　　　凡一點至一直線上惟垂線至近其他即
　　　　　逺垂線一而已逺者無數也故欲知點與
　　　　　線相去逺近必用垂線為度試如前圖甲
　　　　　點與乙丙線相去逺近必以甲丁垂線為
　　　　　度為甲丁一線獨去直線至近他若甲戊
　　　　　甲己諸線愈大愈逺乃至無數故如後圖
　説甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁兩線其去戊心逺近
<pb:KR3f0047_WYG_003-3a>
　等為己戊庚戊兩垂線等故若辛壬線去戊心近矣
　為戊癸垂線小故
　第五界
凡直線割圜之形為圜分
　　　　　甲乙丙丁圜之乙丁直線任割圜之一分
　　　　　如甲乙丁及乙丙丁兩形皆為圜分凡分
　有三形其過心者為半圜分函心者為圜大分不函
　心者為圜小分又割圜之直線為弦所割圜界之一
<pb:KR3f0047_WYG_003-3b>
　分為弧
　第六界
凡圜界偕直線内角為圜分角
　　　　　　　以下三界論圜角三種本界所言雜
　　　　　　　圜也其在半圜分内為半圜角在大
　分内為大分角在小分内為小分角
　第七界
凡圜界任于一點出兩直線作一角為負圜分角
<pb:KR3f0047_WYG_003-4a>
　　　　甲乙丙圜分甲丙為底于乙點出兩直線作
　　　　甲乙丙角形其甲乙丙角為負甲乙丙圜分
　角
　第八界
若兩直線之角乘圜之一分為乘圜分角
　　　　甲乙丙丁圜内于甲點出甲乙甲丁兩線其
　　　　乙甲丁角為乘乙丙丁圜分角
　　圜角三種之外又有一種為切邊角或直線切圜
<pb:KR3f0047_WYG_003-4b>
　　　　　或兩圜相切其兩圜相切者又或内或外
　　　　　如上圖甲乙線切丙丁戊圜于丙即甲丙
　　　　　丁乙丙戊兩角為切邊角又丙丁戊己戊
　　　　　庚兩圜外相切于戊及己戊庚己辛壬兩
　　圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱
　　為切邊角
　第九界
凡從圜心以兩直線作角偕圜界作三角形為分圜形
<pb:KR3f0047_WYG_003-5a>
　　　　甲乙丙丁圜從戊心出戊甲戊丙兩線偕甲
　　　　丁丙圜界作角形為分圜形
　第十界
凡圜内兩負圜分角相等即所負之圜分相似
　　　　　甲乙丙丁圜内有甲乙己與丁丙戊兩負
　　　　　圜分角等則所負甲乙丁己與丁丙甲戊
　　　　　兩圜分相似
　　又有兩圜或等或不等其負圜分角等即圜分俱
<pb:KR3f0047_WYG_003-5b>
　　　　　　　　　　　　　　相似如上三圖三
　　　　　　　　　　　　　　圜之甲乙丙丁戊
　　己庚辛壬三負圜分角等即所負甲乙丙丁戊己
　　庚辛壬三圜分相似(相似者如云同為/幾分圜之幾也)
　
　
　
　幾何原本卷三之首
#+PROPERTY: JUAN 卷三
<pb:KR3f0047_WYG_003-6a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷三
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇撰
　第一題
有圜求尋其心
　　　　　法曰甲乙丙丁圜求尋其心先于圜之兩
　　　　　界任作一甲丙直線次兩平分之于戊(一/卷)
　(十/)次于戊上作乙丁垂線兩平分之于己即己為圜
<pb:KR3f0047_WYG_003-6b>
　心
　論曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下
　何者乙丁線既平分于己離平分不能為心故必言
　心在乙丁線外為庚即令自庚至丙至戊至甲各作
　　　　　直線則甲庚戊角形之甲戊既與丙庚戊
　　　　　角形之丙戊兩邊等戊庚同邊而庚甲庚
　丙兩線俱從心至界宜亦等即對等邊之庚戊甲庚
　戊丙兩角宜亦等(一卷/八)而為兩直角矣(一卷界/説十)夫乙
<pb:KR3f0047_WYG_003-7a>
　戊甲既直角而庚戊甲又為直角可不可也
　系因此推顯圜内有直線分他線為兩平分而作直
　角即圜心在其内
　第二題
圜界任取二點以直線相聯則直線全在圜内
　　　　　解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二點作直
　　　　　線相聨題言甲丙線全在圜内
　論曰如云在外若甲丁丙線令尋取甲乙丙圜之戊
<pb:KR3f0047_WYG_003-7b>
　心(本篇/一)次作戊甲戊丙兩直線次于甲丁丙線上作
　戊乙丁線而與圜界遇于乙即戊甲丁丙當為三角
　形以甲丁丙為底戊甲戊丙兩腰等其戊甲丙戊丙
　甲兩角宜等(一卷/五)而戊丁甲為戊丙丁之外角宜大
　于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角(一卷/十六)則對戊丁
　甲大角之戊甲線宜大于戊丁線矣(一卷/十九)夫戊甲與
　　　　　戊乙本同圜之半徑等據如所論則戊乙
　　　　　亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而
<pb:KR3f0047_WYG_003-8a>
　在圜界依前論令戊甲大于戊乙亦不可通也
　第三題
直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角
　為兩直角必兩平分
　　　　　解曰乙丙丁圜有丙戊線過甲心分乙丁
　　　　　線為兩平分于己題言甲己必是垂線而
　己旁為兩直角又言己旁既為兩直角則甲己分乙
　丁必兩平分
<pb:KR3f0047_WYG_003-8b>
　先論曰試從甲作甲乙甲丁兩線即甲乙己角形之
　乙己與甲丁己角形之丁己兩邊等甲己同邊甲乙
　甲丁兩線俱從心至界又等即兩形等則其對等邊
　之甲己乙甲己丁亦等(一卷/八)而為兩直角矣
　後論曰如前作甲乙甲丁兩線甲乙丁角形之甲乙
　甲丁兩邊既等則甲乙丁甲丁乙兩角亦等(一卷/五)又
　甲乙己角形之甲己乙甲乙己兩角與甲丁己角形
　之甲己丁甲丁己兩角各等而對直角之甲乙甲丁
<pb:KR3f0047_WYG_003-9a>
　兩邊又等則己乙己丁兩邊亦等(一卷/廿六)
　欲顯次論之㫖又有一説如甲丁上直角方形與甲
　己己丁上兩直角方形并等(一卷/四七)而甲乙上直角方
　　　　　形與甲己乙己上兩直角方形并亦等即
　　　　　甲己己乙上兩直角方形并與甲己己丁
　上兩直角方形并亦等此二率者每減一甲己上直
　角方形則所存乙己己丁上兩直角方形自相等而
　兩邊亦等
<pb:KR3f0047_WYG_003-9b>
　第四題
圜内不過心兩直線相交不得俱為兩平分
　　　　　解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩直線
　　　　　俱不過己心(若一過心一不過心即兩線/不得俱為兩平分其理易顯)
　而交于戊題言兩直線或有一線為兩平分不得俱
　為兩平分
　論曰若云不然而甲乙丙丁能俱兩平分于戊試令
　尋本圜心于己(本篇/一)從己至戊作甲乙之垂線其己
<pb:KR3f0047_WYG_003-10a>
　戊既分甲乙為兩平分即為兩直角(本篇/三)而又能分
　丙丁為兩平分亦宜為兩直角是己戊甲為直角而
　己戊丙亦直角全與其分等矣
　第五題
兩圜相交必不同心
　　　　　解曰甲乙丁戊乙丁兩圜交于乙于丁題
　　　　　言兩圜不同心
　論曰若言丙為同心令自丙至乙至甲各作直線其
<pb:KR3f0047_WYG_003-10b>
　　　　　丙乙至圜交而丙甲截兩圜之界于戊于
　　　　　甲夫丙既為戊乙丁圜之心則丙乙與丙
　戊等而又為甲乙丁圜之心則丙乙與丙甲又等是
　丙戊與丙甲亦等而全與其分等也
　第六題
兩圜内相切必不同心
　　　　解曰甲乙丙乙兩圜内相切于乙題言兩圜
　　　　不同心
<pb:KR3f0047_WYG_003-11a>
　論曰若言丁為同心令自丁至乙至丙各作直線其
　丁乙至切界而丁丙截兩圜之界于甲于丙夫丁既
　為甲乙圜之心則丁乙與丁甲等而又為丙乙圜之
　心則丁乙與丁丙又等是丁甲與丁丙亦等而全與
　其分等也
　第七題
圜徑離心任取一點從點至圜界任出幾線其過心線
　最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過
<pb:KR3f0047_WYG_003-11b>
　心線者愈小而諸線中止兩線等
　　　　　解曰甲丙丁戊乙圜其徑甲乙其心己離
　　　　　心任取一點為庚從庚至圜界任出幾線
　　　　　為庚丙庚丁庚戊題先言從庚所出諸線
　　　　　惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小
　　　　　三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近
　　　　　心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙兩旁止
　可出兩線等
<pb:KR3f0047_WYG_003-12a>
　先論曰試從已心出三線至丙至丁至戊其丙己庚
　角形之丙己己庚兩邊并大于丙庚一邊(一卷/二十)而丙
　己己庚等于甲己己庚則庚甲大于庚丙依顯庚丁
　庚戊俱小于庚甲是庚甲最大
　次論曰己庚戊角形之己戊一邊小于己庚庚戊兩
　邊并(一卷/二十)而己戊與己乙等則己乙小于己庚庚戊
　并矣次各減同用之己庚則庚乙小于庚戊依顯庚
　戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小
<pb:KR3f0047_WYG_003-12b>
　三論曰丙己庚角形之丙己與丁己庚角形之丁己
　兩邊等己庚同邊而丙己庚角大于丁己庚角(全大/于分)
　則對大角之庚丙邊大于對小角之庚丁邊(一卷/廿四)依
　顯庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小
　後論曰試依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界為
　己辛線次從庚作庚辛線其戊己庚角形之戊己腰
　與庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰兩腰間角
　又等則對等角之庚戊庚辛兩底亦等(一卷/四)而庚乙
<pb:KR3f0047_WYG_003-13a>
　兩旁之庚戊庚辛等矣此外若有從庚出線在辛之
　上即依第三論大于庚辛在辛之下即小于庚辛故
　云庚乙兩旁止可出庚戊庚辛兩線等
　第八題
圜外任取一㸃從㸃任出幾線其至規内則過圜心線
　最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線為徑
　之餘者最小餘線愈近徑餘愈小而諸線中止兩線
　等
<pb:KR3f0047_WYG_003-13b>
　　　　　　　　解曰乙丙丁戊圜之外從甲㸃任
　　　　　　　　出幾線其一為過癸心之甲壬其
　　　　　　　　餘為甲辛為甲庚為甲己皆至規
　　　　　　　　内(規内線者如/車輻之指牙)題先言過心之甲
　壬最大次言近心之甲辛大于離心之甲庚甲庚又
　大于甲己三反上言規外之甲乙為乙壬徑餘者(規/外)
　(線者如車/輻之湊轂)最小四言甲丙近徑餘小于甲丁甲丁又
　小于甲戊後言甲乙兩旁止可出兩線等
<pb:KR3f0047_WYG_003-14a>
　先論曰試從癸心至丙丁戊己庚辛各出直線其甲
　癸辛角形之甲癸癸辛兩邊并大于甲辛一邊(一卷/二十)
　而甲癸癸辛與甲壬等則甲壬大于甲辛依顯甲壬
　更大于甲庚甲己而過心之甲壬最大
　次論曰甲癸辛角形之癸辛與甲癸庚角形之癸庚
　兩邊等甲癸同邊而甲癸辛角大于甲癸庚角(全大/于分)
　則對大角之甲辛邊大于對小角之甲庚邊(一卷/廿四)依
　顯甲庚大于甲己而規内線愈離心愈小
<pb:KR3f0047_WYG_003-14b>
　　　　　　　　三論曰甲癸丙角形之甲癸一邊
　　　　　　　　小于甲丙丙癸兩邊并(一卷/二十)次每
　　　　　　　　減一相等之乙癸丙癸則甲乙小
　　　　　　　　于甲丙矣依顯甲乙更小于甲丁
　甲戊而規外甲乙最小
　四論曰甲丁癸角形之内從甲與癸出甲丙丙癸兩
　邊并小于甲丁丁癸兩邊并(一卷/廿一)此二率者每減一
　相等之丙癸丁癸則甲丙小于甲丁矣依顯甲丙更
<pb:KR3f0047_WYG_003-15a>
　小于甲戊而愈近徑餘甲乙者愈小
　後論曰試依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作
　甲子線其甲子癸角形之甲癸癸子兩腰與甲癸丙
　角形之甲癸癸丙兩腰各等而兩腰間角又等則對
　等角之甲子甲丙兩底亦等也(一卷/四)此外若有從甲
　出線在子之上即依第四論小于甲丙在子之下即
　大于甲丙故云甲乙兩旁止可出甲丙甲子兩線等
　第九題
<pb:KR3f0047_WYG_003-15b>
圜内從一㸃至界作三線以上皆等即此㸃必圜心
　　　　　解曰從甲㸃至乙丙丁圜界作甲乙甲丙
　　　　　甲丁三直線若等題言甲㸃為圜心三以
　　　　　上等者更不待論
　　　　　論曰試于乙丙丙丁界作乙丙丙丁兩直
　　　　　線相聨此兩線各兩平分于戊于己從甲
　　　　　出兩直線為甲戊為甲己其甲乙戊角形
　之甲乙與甲戊丙角形之甲丙兩腰既等甲戊同腰
<pb:KR3f0047_WYG_003-16a>
　乙戊戊丙兩底又等即甲戊乙與甲戊丙兩角亦等
　(一卷/八)為兩直角依顯甲己丙甲己丁亦等為兩直角
　則甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分為直角而此兩
　線俱為函心線(本篇一/之系)定相遇于甲甲為圜心矣
　　　　　又論曰若言甲非心心在于戊者令戊甲
　　　　　相聨引作己庚徑線即甲是戊心外所取
　　　　　一㸃而從甲所出線愈近心者宜愈大矣
　(本篇/七)則甲丁宜大于甲丙而先設等何也
<pb:KR3f0047_WYG_003-16b>
　第十題
兩圜相交止于兩㸃
　　　　　論曰若言甲乙丙丁戊己圜與甲庚乙丁
　　　　　辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙
　　　　　乙丁兩直線相聯此兩線各兩平分于壬
　　　　　于癸次從壬癸作子壬子癸兩垂線其子
　壬分甲乙子癸分乙丁既皆兩平分而各為兩直角
　即子壬子癸兩線俱為甲庚乙丁辛戊圜之函心線
<pb:KR3f0047_WYG_003-17a>
　　　　　(本篇一/之系)而子為其心矣依顯甲乙丙丁戊
　　　　　己圜亦以子為心也夫兩交之圜尚不得
　　　　　同心(本篇/五)何縁得有三交
　　　　　又論曰若言兩圜三相交于甲于乙于丁
　　　　　令先尋甲庚乙丁辛戊圜之心于壬(本篇/一)
　　　　　次從心至三交界作壬甲壬乙壬丁三線
　　　　　此三線等也(一卷界/説十五)又甲乙丙丁戊己圜
　　　　　内有從壬出之壬甲壬乙壬丁三相等線
<pb:KR3f0047_WYG_003-17b>
　則壬又為甲乙丙丁戊己圜之心(本篇/九)不亦交圜同
　心乎(本篇/五)
　第十一題
兩圜内相切作直線聯兩心引出之必至切界
　　　　　解曰甲乙丙甲丁戊兩圜内相切于甲而
　　　　　己為甲乙丙之心庚為甲丁戊之心題言
　　　　　作直線聨庚己兩心引抵圜界必至甲
　論曰如云不至甲而截兩圜界于乙丁及丙戊令從
<pb:KR3f0047_WYG_003-18a>
　甲作甲己甲庚兩線其甲己庚角形之庚己己甲
　兩邉并大于庚甲一邉(一卷/二十)而同圜心所出之庚甲庚
　丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各減同
　用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲與己乙是
　内圜同心所出等線則己乙亦大于己丁而分大于
　全也可乎若曰庚為甲乙丙心己為甲丁戊心亦依
　前轉説之甲己庚角形之己庚庚甲兩邉并大于
　甲己一邉(一卷/二十)而同圜心所出之己甲己戊宜等即
<pb:KR3f0047_WYG_003-18b>
　　　　　己庚庚甲大于己戊矣此二率者各減同
　　　　　用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲
　　　　　與庚丙是内圜同心所出等線則庚丙
　亦大于庚戊而分大子全也可乎
　第十二題
兩圜外相切以直線聯兩心必過切界
　解曰甲乙丙丁乙戊兩圜外相切于乙其甲乙丙心
　為己丁乙戊心為庚題言作己庚直線必過乙
<pb:KR3f0047_WYG_003-19a>
　　　　論曰如云不然而己庚線截兩圜界于戊于
　　　　丙令于切界作乙己乙庚兩線其乙己庚角
　　　　形之己乙乙庚兩邊并大于己庚一邊而乙
　庚與庚戊乙己與己丙俱同心所出線宜各等即庚
　戊丙己兩線并亦大于庚己一線矣(一卷/二十)夫庚己線
　分為庚戊丙己尚餘丙戊而云庚戊丙己大于庚己
　則分大于全也故直線聨己庚必過乙
　第十三題(二支/)
<pb:KR3f0047_WYG_003-19b>
圜相切不論内外止以一㸃
　　　　　先論曰甲乙丙丁與甲戊丙己兩圜内相
　　　　　切若云有兩㸃相切于甲又于丙令作直
　　　　　線函兩圜心庚辛引出之如前圖宜至相
　　　　　切之甲之丙(本篇/十一)則甲丙為兩圜之同徑
　　　　　矣而此徑線者兩平分于庚又兩平分于
　　　　　辛何也(一直線止以/一㸃兩平分)若云庚辛引出直線
　一抵甲一截兩圜之界于癸于壬即如後圖令從兩
<pb:KR3f0047_WYG_003-20a>
　心各作直線至又相切之丙次問之甲乙丙丁圜之
　心為庚邪辛邪如曰庚也而辛為甲戊内己之心則
　丙庚辛角形之庚辛辛丙兩邊并大于庚丙一邊(一/卷)
　(二/十)而庚辛辛丙與庚癸宜等(辛癸辛丙同/圜心所出故)即庚癸亦
　大于庚丙矣夫庚丙與庚壬者外圜同心所出等線
　也將庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚為甲戊
　丙己之心則丙庚辛角形之辛庚庚丙兩邊并大于
　辛丙一邊(一卷/二十)而辛丙與辛甲宜等即辛庚庚丙亦
<pb:KR3f0047_WYG_003-20b>
　大于辛甲矣此二率者各減同用之辛庚即庚丙亦
　大于庚甲也夫庚甲與庚丙者亦同圜心所出等線
　也而安有大小
　　　　後論曰甲乙與乙丙兩圜外相切于已從甲
　　　　乙之丁心丙乙之戊心作直線相聨必過已
　　　　(本篇/十三)若云又相切于乙令自乙至丁至戊各
　作直線其丁乙乙戊并宜與丁戊等而為角形之兩
　腰又宜大于丁戊(一卷/二十)則兩圜相切安得兩㸃
<pb:KR3f0047_WYG_003-21a>
　　　　又後論曰更令于兩相切之乙之己作直線
　　　　相聨其直線當在甲乙圜内(本篇/二)又當在乙
　　　　丙圜内何所置之
　第十四題(二支/)
圜内兩直線等即距心之逺近等距心之逺近等即兩
　直線等
　先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙兩線等
　題言兩線距戊心逺近亦等
<pb:KR3f0047_WYG_003-21b>
　　　　　論曰試從戊心向甲乙作戊己向丁丙作
　　　　　戊庚各垂線次自丁自甲至戊各作直線
　　　　　其戊己戊庚既各分甲乙丁丙線為兩平
　分(本篇/三)而甲乙丁丙等則平分之甲己丁庚亦等夫
　甲戊上直角方形與甲己己戊上兩直角方形并等
　(一卷/四七)等甲戊之丁戊上直角方形與丁庚庚戊上兩
　直角方形并等而甲己丁庚上兩直角方形既等即
　戊己戊庚上兩直角方形亦等則戊己戊庚兩線亦
<pb:KR3f0047_WYG_003-22a>
　等是甲乙丁丙兩線距心之度等(本卷界/説四)
　後解曰甲乙丁丙兩線距戊心逺近等題言甲乙丁
　丙兩線亦等
　　　　　論曰依前論從戊作戊己戊庚兩垂線既
　　　　　等(本卷界/説四)而分甲乙丁丙各為兩平分(本/篇)
　　　　　(三/)其甲戊上直角方形與甲己己戊上兩
　直角方形并等(一卷/四七)等甲戊之丁戊上直角方形與
　丁庚庚戊上兩直角方形并等即甲己己戊上兩直
<pb:KR3f0047_WYG_003-22b>
　角方形并與丁庚庚戊上兩直角方形并亦等此二
　率者每減一相等之己戊戊庚上直角方形即所存
　甲己丁庚上兩直角方形亦等是甲己丁庚兩線等
　也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等
　第十五題
徑為圜内之大線其餘線者近心大于逺心
　解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其徑甲己其近心線
　為辛壬逺心線為丙丁題言甲乙最大辛壬近心大
<pb:KR3f0047_WYG_003-23a>
　　　　　于丙丁逺心
　　　　　論曰試從庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚
　　　　　子各垂線其丙丁距心逺于辛壬即庚癸
　大于庚子(本卷界/説四)次于庚癸線截庚丑與庚子等次
　從丑作乙戊為庚癸之垂線末于庚乙庚丙庚丁庚
　戊各作直線相聯其庚丑既等于庚子即乙戊與辛
　壬各以垂線距心逺近等(本卷界/説四)而兩線亦等(本篇/十四)
　夫庚乙庚戊并大于乙戊(一卷/二十)而與甲己等即甲己
<pb:KR3f0047_WYG_003-23b>
　　　　　大于乙戊亦大于辛壬矣依顯甲己大于
　　　　　他線則甲己最大又乙庚戊角形之乙庚
　　　　　庚戊兩腰與丙庚丁角形之丙庚庚丁兩
　腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角則乙戊底大于丙
　丁底(一卷/廿四)故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心
　線大于逺心線也
　第十六題(三支/)
圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊
<pb:KR3f0047_WYG_003-24a>
　角不得更作一直線入其内其半圜分角大于各直
　線鋭角切邊角小于各直線鋭角
　　　　　　先解曰甲乙丙圜丁為心甲丙為徑從
　　　　　　甲作甲丙之垂線題言此線全在圜外
　　　　　　論曰若言在内如甲乙令自丁至乙作
　直線即丁甲乙與丁乙甲兩角等(一卷/五)丁甲既為直
　角丁乙又為直角乎夫角形三角并等兩直角(一卷/十七)
　豈得形内自有兩直角也則垂線必在圜外若己戊
<pb:KR3f0047_WYG_003-24b>
　必不在圜内若甲乙又不在圜界之上(如云在界/亦依此論)故
　曰全在圜外
　次解曰題又言戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角
　不得更作一直線入其内
　　　　　　論曰若云可作如庚甲令從丁心向庚
　　　　　　甲作丁辛為庚甲之垂線(一卷/十二)夫丁甲
　　　　　　辛角形之丁甲辛丁辛甲兩角并小于
　兩直角(一卷/十七)而丁辛甲為直角即對小角之丁辛線
<pb:KR3f0047_WYG_003-25a>
　小于對大角之甲丁線矣(一卷/十九)甲丁者與丁壬為同
　圜相等者也將丁壬亦大于丁辛乎則戊甲乙角之
　内不得更作一直線而戊甲之下但有直線必入本
　圜之内也
　後解曰題又言丁甲垂線偕乙甲圜界所作丙甲乙
　圜分角大于各直線鋭角而戊甲垂線偕乙甲圜界
　所作切邊角小于各直線鋭角
　論曰依前論甲戊下有直線既云必入圜内即此直
<pb:KR3f0047_WYG_003-25b>
　線偕戊甲所作各直線鋭角皆小于圜分角而切邊
　角小于各直線鋭角
　系己甲線必切圜以一㸃
　　　　　　　増先解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲
　　　　　　　丙從甲作戊甲為甲丙之垂線題言
　　　　　　　戊甲全在圜外
　　増正論曰試于甲戊線内任取一㸃為庚自庚至
　　丁作直線其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲兩角
<pb:KR3f0047_WYG_003-26a>
　　小于兩直角(一卷/十七)而丁甲庚為直角即丁庚甲小
　　于直角對大角之丁庚線大于對小角之丁甲線
　　矣(一卷/十九)則庚㸃在圜之外也凡戊甲以内作㸃皆
　　　　　　　依此論故戊甲線全在圜外
　　　　　　　増次解曰從甲作甲辛線在戊甲之
　　　　　　　下題言甲辛必割圜為分
　　増正論曰試作甲丁壬角與戊甲辛角等其甲丁
　　壬辛甲丁兩角并等于戊甲丁直角必小于兩直
<pb:KR3f0047_WYG_003-26b>
　　角而丁壬甲辛兩線必相遇(分論/十一)其相遇又必在
　　圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲兩角既與一直
　　角等即甲壬丁必為直角(一卷/卅二)而對大角之甲丁
　　線必大于對小角之丁壬線矣(一卷/十九)夫甲丁線僅
　　至圜界則丁壬不能抵圜界必在圜之内也
　　後支前已正論
　　或難曰切邊角有大有小何以畢不得兩分向者
　　聞幾何之分不可窮盡如莊子尺棰之義深著明
<pb:KR3f0047_WYG_003-27a>
　　矣今切邊之内有角非幾何乎此幾何何獨不可
　　分邪又十卷第一題言設一小幾何又設一大幾
　　何若從大者半減之減之又減必至一處小于所
　　設小率此題最明無可疑者今言切邊之角小于
　　直線鋭角是亦小幾何也彼直線鋭角是亦大幾
　　何也若從直線鋭角半減之減之又減何以終竟
　　不得小于切邊角邪既本題推顯切邊角中不得
　　容一直線如此著明便當并無切邊角無角則無
<pb:KR3f0047_WYG_003-27b>
　　幾何此則不可得分耳且幾何原本書中無有至
　　大不可加之率無有至小不可減之率若切邊角
　　不可分豈非至小不可減乎答曰謬矣子之言也
　　有圜有線安得無切邊角且既言直線鋭角大于
　　切邊角即有切邊角矣苟無角安所較大小哉且
　　　　　　　　　子言直線與圜界并無切邊角
　　　　　　　　　則兩圜外相切亦無角乎曰然
　　　　　　　　　曰試如作甲己乙圜其心丙而
<pb:KR3f0047_WYG_003-28a>
　　丁戊為切線即丁甲己為切邊角次移心于庚又
　　作甲辛癸圜即丁甲辛為切邊角而小于丁甲己
　　次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑為切邊角
　　而又小于丁甲辛如是小之又小疑無角焉次又
　　于切線之外以辰為心作甲己午圜而與前圜外
　　相切于甲依子所説疑無角焉然兩圜外相切而
　　以丁戊線分之不可分乎更自辰至寅作直線截
　　兩圜之界而分丁戊為兩平分不可分乎兩圜兩
<pb:KR3f0047_WYG_003-28b>
　　直線交羅相遇于甲也能不皆以一㸃乎如以一
　　㸃也即此一㸃之外不能無空即不能不為四切
　　邊角矣子所據尺棰之分無盡又言幾何原本書
　　中無至小不可減之率也是也夫切邊角但不可
　　　　　　以直線分之耳若用圜線則可分矣如
　　　　　　甲乙庚圜與丙甲丁直線相切于甲作
　　　　　　丁甲庚切邊大角若移一心作甲戊辛
　　圜又得丁甲辛切邊角即小于丁甲庚也又移一
<pb:KR3f0047_WYG_003-29a>
　　心作甲己壬圜又得丁甲壬切邊小角即又小于
　　丁甲辛也如此以至無窮則切邊角分之無盡何
　　謂不可減邪若十卷第一題所言元無可疑但以
　　圜角分圜角則與其説合矣彼所言大小兩幾何
　　者謂夫能相較為大能相較為小者也如以直線
　　分直線角以圜線分圜線角是已此切邊角與直
　　線角豈能相較為大小哉
　　増題有兩種幾何一大一小以小率半増之遞増
<pb:KR3f0047_WYG_003-29b>
　　至于無窮以大率半減之遞減至于無窮其元大
　　者恒大元小者恒小
　　　　　　解曰戊甲乙切邊角為小率壬庚辛直
　　　　　　線鋭角為大率今别作甲丙甲丁等圜
　　　　　　俱切戊己線于甲其切邊角愈増愈大
　　　　　　如前論别以庚癸庚子線作角分壬庚
　　　　　　辛角于庚愈分愈小然直線角恒大切
　　邊角恒小乃至終古不得相比
<pb:KR3f0047_WYG_003-30a>
　　又増題舊有一説以一小率加一大率之上或以
　　一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至
　　一相等之處又一説有率大于此率者有率小于
　　此率者則必有率等于此率者昔人以為皆公論
　　也若用以律本題即不可得故今斥不為公論
　　　　　　解曰甲乙丙圜其徑甲丙令甲丙之甲
　　　　　　界定在于甲而引丙線逐線漸移之向
　　　　　　已其所經丁戊己及中間逐線所經無
<pb:KR3f0047_WYG_003-30b>
　　數然依本題論則甲丙所經凡割圜時皆為鋭角
　　即小于半圜分角纔離鋭角便為直角即大于半
　　圜分角是所經無數線終無有相等線可見前一
　　舊説未為公論又直線鋭角皆小于半圜分角直
　　角與鈍角皆大于半圜分角是有大者有小者終
　　無等者可見後一舊説未為公論也
　第十七題
設一㸃一圜求從㸃作切線
<pb:KR3f0047_WYG_003-31a>
　　　　　法曰甲㸃求作直線切乙丙圜其圜心丁
　　　　　先從甲作甲丁直線截乙丙圜于乙次以
　　　　　丁為心甲為界作甲戊圜次從乙作甲丁
　之垂線而遇甲戊圜于戊次作戊丁直線而截乙丙
　圜于丙末作甲丙直線即切乙丙圜于丙
　　　　　論曰乙戊丁角形之戊丁丁乙兩腰與甲
　　　　　丙丁角形之甲丁丁丙兩腰各等(一卷界/説十五)
　　　　　丁角同即甲丙乙戊兩底亦等(一卷/四)而戊
<pb:KR3f0047_WYG_003-31b>
　乙丁為直角即甲丙丁亦直角則甲丙偕乙丙圜之
　半徑丁丙為一直角矣豈非圜之切線(本篇十/六之系)
　第十八題
直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線
　　　　　解曰甲乙直線切丙丁圜于丙從戊心至
　　　　　切界作戊丙線題言戊丙為甲乙之垂線
　　　　　論曰如云不然令從戊别作垂線如至已
　而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既為直
<pb:KR3f0047_WYG_003-32a>
　角即宜大于己丙戊角(一卷/十七)而對大角之戊丙邊宜
　大于對小角之戊己邊矣(一卷/十九)夫戊丙與戊丁等也
　戊丙大于戊已則戊丁亦大于戊己乎
　又論曰若云丙非直角即其兩旁角一鋭一鈍令乙
　丙戊為鋭角則鋭角乃大于半圜分角乎(本篇/十六)
　第十九題
直線切圜圜内作切線之垂線則圜心必在垂線之内
　解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙為甲乙
<pb:KR3f0047_WYG_003-32b>
　　　　　之垂線題言圜心在戊丙線内
　　　　　論曰如云不然心在于已令從已作己丙
　　　　　直線即己丙亦為甲乙之垂線(本篇/十八)而已
　丙甲與戊丙甲等為直角是全與其分等矣
　第二十題
負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍
　大于負圜角
　解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負
<pb:KR3f0047_WYG_003-33a>
　圜角同以乙丙圜分為底題言乙丁丙角倍大于乙
　甲丙角
　　　　　先論分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上
　　　　　圖試從甲過丁心作甲戊線其甲丁乙角
　　　　　形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲兩角
　等(一卷/五)而乙丁戊外角與内相對兩角并等(一卷/卅二)即
　乙丁戊倍大于乙甲丁矣依顯丙丁戊亦倍大于丙
　甲丁則乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
<pb:KR3f0047_WYG_003-33b>
　　　　　次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙
　　　　　線過丁心者曰如上圖依前論推顯乙丁
　　　　　丙外角等于内相對之丁甲丙丁丙甲兩
　角并(一卷/卅二)而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等(一/卷)
　(五/)則乙丁丙角倍大于乙甲丙角
　　　　　後論分圜角在負圜角線之外而甲乙截
　　　　　丁丙者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊
　　　　　線其戊丁丙分圜角與戊甲丙負圜角同
<pb:KR3f0047_WYG_003-34a>
　以戊乙兩圜分為底如前次論戊丁丙角倍大于戊
　甲丙角依顯戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙負圜
　　　　　　角次于戊丁丙角減戊丁乙角戊甲丙
　　　　　　角減戊甲乙角則所存乙丁丙角必倍
　　　　　　大于乙甲丙角
　　　　　　増若乙丁丁丙不作角于心或為半圜
　　　　　　或小于半圜則丁心外餘地亦倍大于
　　　　　　同底之負圜角
<pb:KR3f0047_WYG_003-34b>
　　論曰試從甲過丁心作甲戊線即丁心外餘地分
　　為乙丁戊戊丁丙兩角依前論推顯此兩角倍大
　　于乙甲丁丁甲丙兩角
　第二十一題
凡同圜分内所作負圜角俱等
　　　　　解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜
　　　　　分内任作丁甲丙丁乙丙兩角題言此兩
　　　　　角等
<pb:KR3f0047_WYG_003-35a>
　先論函心大分所作曰試從戊作戊丁戊丙線其丁
　戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角(本篇/十二)即
　　　　　甲乙兩角自相等(公論/七)
　　　　　後論半圜分不函心小分所作曰丁甲乙
　　　　　丙或為半圜分或為不函心小分俱從甲
　　　　　從乙過戊作甲己乙庚兩線若不函心更
　　　　　從戊作戊丁戊丙兩線其丁戊己分圜角
　　　　　既倍大于丁甲己負圜角(本篇/二十)依顯丙戊
<pb:KR3f0047_WYG_003-35b>
　己分圜角亦倍大于丙甲己負圜角而丁戊庚庚戊
　己兩角與丁戊己一角等則丁戊庚庚戊己己戊丙
　三角必倍大于丁甲丙依顯此三角亦倍大于丁乙
　丙則丁甲丙丁乙丙兩角自相等
　又後論曰二十題増言分圜不作角其心外餘地倍
　　　　　大于同底各負圜角即各角自相等
　　　　　又後論曰甲丙乙丁線交羅相遇為已試
　　　　　作甲乙線相聯其甲丁己角形之三角并
<pb:KR3f0047_WYG_003-36a>
　　　　　與乙丙己角形之三角并等(一卷/卅二)次每減
　　　　　一交角相等之甲己丁乙己丙(一卷/十五)即己
　　　　　甲丁己丁甲兩角并與己丙乙己乙丙兩
　　　　　角并等矣而甲丁乙乙丙甲兩角同在甲
　　　　　丁丙乙函心大分内又等(本題第/一論)則丁甲
　　　　　丙與丙乙丁亦等
　又後論曰丁丙之外任取一界為已作丁己丙己兩
　線令俱函心而丁甲乙丙己與丙乙甲丁己俱為大
<pb:KR3f0047_WYG_003-36b>
　　　　　分次于甲己乙己各作直線相聨其丁甲
　　　　　已與丁乙己兩角同負于甲乙丙己圜界
　　　　　即等(本題第/一論)依顯丙乙己與丙甲已兩角
　　　　　同負丙乙甲丁己圜界又等此二相等率
　　　　　并之則丁甲丙丁乙丙兩全角亦等
　第二十二題
圜内切界四邊形每相對兩角并與兩直角等
　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四邊形
<pb:KR3f0047_WYG_003-37a>
　　　　　題言甲乙丙丙丁甲兩角并乙丙丁丁甲
　　　　　乙兩角并各與兩直角等
　　　　　論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁
　　　　　甲丙丁兩角同負甲乙丙丁圜分即等(本/篇)
　　　　　(廿/一)依顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等則甲乙
　　　　　丁丙乙丁兩角并為甲乙丙一角與甲丙
　丁丙甲丁兩角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙
　丙丁甲并與甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三
<pb:KR3f0047_WYG_003-37b>
　角并元與兩直角等(一卷/卅二)則甲乙丙丙丁甲相對兩
　角并與兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙并亦與兩直
　角等
　第二十三題
一直線上作兩圜分不得相似而不相等
　　　　　論曰如云不然令于甲乙線上作同方兩
　　　　　圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲
　　　　　丁乙其兩圜相交止于甲乙兩㸃(本篇/十)即
<pb:KR3f0047_WYG_003-38a>
　一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁線截
　甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙兩線相聨夫兩圜
　分相似者其負圜角宜等(本卷界/説十)則乙丙甲外角與
　相對之乙丁甲内角等乎(一卷/十六)
　第二十四題
相等兩直線上作相似兩圜分必等
　解曰甲乙丙丁兩線上作甲丙乙丙己丁相似兩圜
　分題言兩圜分等
<pb:KR3f0047_WYG_003-38b>
　　　　　論曰甲乙丙丁兩線既等試以甲乙線加
　　　　　丙丁線上兩線必相合即甲丙乙丙己丁
　　　　　兩圜分相加亦相合如云不然必兩圜分
　　　　　相加或在内或在外或半在内半在外矣
　　　　　若在内在外即一直線上有兩圜分相似
　　　　　而不相等也(本篇/廿三)若半在内半在外即兩
　　　　　圜三相交也(本篇/十)兩俱不可故相似者必
　等
<pb:KR3f0047_WYG_003-39a>
　第二十五題
有圜之分求成圜
　　　　法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之兩端作
　　　　甲丙線次作乙丁為甲丙之垂線次作甲乙
　　　　線相聯其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等
　或小若大即甲乙丙當為圜之小分何也乙丁分甲
　丙為兩平分即知圜之心必在乙丁線内(本篇一/之系)而
　心在丁㸃之外則從丁㸃所出丁乙為不過心徑線
<pb:KR3f0047_WYG_003-39b>
　至小(本篇/七)故對小邊之丁甲乙角小于對大邊之丁
　乙甲角也(一卷/十八)即作乙甲戊角與丁乙甲角等次從
　乙丁引出一線與甲戊線遇于戊即戊為圜心
　論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與
　丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁
　戊兩皆直角即對直角之甲戊與戊丙兩線等(一卷/四)
　夫甲戊與乙戊以對角等故既等(一卷/六)戊丙與甲戊
　又等則從戊至界三線皆等而戊為心(本篇/九)
<pb:KR3f0047_WYG_003-40a>
　　　　次法兼論曰若丁乙甲丁甲乙兩角等即甲
　　　　乙丙為半圜而甲丙為徑丁為心何也丁乙
　　　　丁甲兩邊等然後丁乙甲丁甲乙兩角等(一/卷)
　(五/)今丁乙甲丁甲乙兩角既等即丁乙丁甲兩線必
　等(一卷/六)丁丙元與丁甲等則從丁所出三線等而丁
　　　　　為圜心(本篇/九)
　　　　　後法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙
　　　　　當為圜大分何也乙丁分甲丙為兩平分
<pb:KR3f0047_WYG_003-40b>
　即知圜心在乙丁線内(本篇一/之系)而丁㸃在心之外則
　所出丁乙為過心徑線至大(本篇/七)故對大邊之丁甲
　乙大于對小邊之丁乙甲也(一卷/十八)即作乙甲戊角與
　丁乙甲角等而甲戊線與乙丁線遇于戊即戊為圜
　心
　論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與
　丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁
　戊兩皆直角即對直角之甲戊戊丙兩線亦等(一卷/四)
<pb:KR3f0047_WYG_003-41a>
　夫乙戊與甲戊以對角等故既等(一卷/五)戊丙與甲戊
　亦等則從戊至界三線皆等而戊為心(本篇/九)
　　　　　　増求圜分之心有一簡法于甲乙丙圜
　　　　　　分任取三㸃于甲于乙于丙以兩直線
　　　　　　聯之各兩平分于丁于戊從丁從戊作
　　甲乙乙丙之各垂線為己丁為己戊而相遇于己
　　即已為圜心
　　論曰己丁己戊既各以兩直角平分甲乙乙丙兩
<pb:KR3f0047_WYG_003-41b>
　　線即圜之心當在兩垂線内(本篇/一)而相遇于已即
　　已為圜心
　　　　　　其用法圜界上任取四㸃為甲為乙為
　　　　　　丙為丁每兩㸃各自為心相向各任作
　　　　　　圜分四圜分兩兩相交于戊于己于庚
　　　　　　于辛從戊己從庚辛各作直線引長之
　　交于壬即壬為圜心
　　論曰試作甲戊戊乙乙己己甲四直線此四線各
<pb:KR3f0047_WYG_003-42a>
　　為同圜等圜之半徑各等即甲戊己角形之甲戊
　　己甲己戊兩角等而乙戊己角形之乙戊己乙己
　　戊兩角亦等次作甲乙直線分戊己于癸即甲己
　　癸角形之甲己邊與乙己癸角形之乙己邊等己
　　癸同邊而對甲己癸角之甲癸邊與對乙己癸角
　　之乙癸邊亦等(一卷/八)則甲癸己乙癸己俱為直角
　　而戊己線必過心(本篇/一)依顯庚辛線亦過心而相
　　遇于壬為圜心
<pb:KR3f0047_WYG_003-42b>
　第二十六題(二支/)
等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦
　等
　　　　　先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩圜等其
　　　　　心為庚為辛有甲庚丙與丁辛己兩乘圜
　　　　　角等題言所乘之甲丙丁己兩圜分亦等
　　　　　論曰試于甲乙丙丁戊己兩圜分之上任
　　　　　取兩㸃于乙于戊從乙作乙甲乙丙從戊
<pb:KR3f0047_WYG_003-43a>
　　　　　作戊丁戊己各兩線次作甲丙丁己兩線
　　　　　相聯其乙與戊兩角既各半于庚辛兩角
　　　　　即乙與戊自相等(本篇/二十)而所負甲乙丙與
　　　　　丁戊己兩圜分相似(本卷界/説十)又甲庚丙角
　　　　　形之甲庚庚丙兩邊與丁辛己角形之丁
　辛辛己兩邊各等庚角與辛角又等即甲丙與丁己
　兩邊亦等(一卷/四)而相似之甲乙丙與丁戊己兩圜分
　在等線上亦等(本篇/卄四)夫相等圜減相等圜分則所存
<pb:KR3f0047_WYG_003-43b>
　甲丙丁己兩圜分亦等故云等角所乗之圜分等
　後解在界者曰兩圜之乙與戊兩乘圜角等題言所
　乘之甲丙丁己兩圜分亦等
　論曰乙戊兩角既等而庚辛兩角各倍于乙戊即庚
　辛自相等(本篇/二十)依前論甲丙丁己兩邊亦自相等而
　甲乙丙與丁戊己兩圜分亦等(本篇/廿四)今于相等圜減
　相等圜分則所存甲丙丁己兩圜分亦等
　　注曰後解極易明葢庚辛角既各倍于乙戊則依
<pb:KR3f0047_WYG_003-44a>
　　先論甲丙丁己自相等(在心之乘圜角即/分圜角隨類異名)
　第二十七題(二支/)
等圜之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等
　　　　　　　　先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩
　　　　　　　　圜等其心為庚為辛若甲庚丙乘
　圜角所乘之甲丙分與丁辛己所乘之丁己分等題
　言甲庚丙丁辛己兩角等
　論曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角與丁辛
<pb:KR3f0047_WYG_003-44b>
　　　　　己角等即甲壬圜分宜與丁己圜分等(本/篇)
　　　　　(廿/六)而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦
　　　　　等乎
　　　　　後解在界者曰甲丙丁己兩圜分等題言
　　　　　其上乙戊兩角亦等
　論曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角與戊角
　等其甲乙壬與丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜
　等(本篇/廿六)而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦等乎
<pb:KR3f0047_WYG_003-45a>
　　　　　　増題從此推顯兩直線不相交而在一
　　　　　　圜之内若兩線界相去之圜分等則兩
　　　　　　線必平行若兩線平行則兩線界相去
　　之圜分等
　　先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙兩線其相去
　　之甲乙丁丙兩圜分等題言兩線必平行
　　論曰試自甲至丙作直線相聯其甲乙丁丙既等
　　即甲丙乙與丙甲丁兩乘圜角亦等(本/題)既内相對
<pb:KR3f0047_WYG_003-45b>
　　之兩角等即兩線必平行(一卷/廿七)
　　　　　　後解曰甲丁乙丙為平行線題言甲乙
　　　　　　丁丙兩圜分必等
　　　　　　論曰試作甲丙線其甲丁乙丙既平行
　　即内相對之兩角甲丙乙丙甲丁必等(一卷/廿七)而所
　　乘圜分甲乙丁丙亦等(本篇/廿六)
　第二十八題
等圜内之直線等則其割本圜之分大與大小與小各
<pb:KR3f0047_WYG_003-46a>
　等
　　　　　解曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心為庚為
　　　　　辛圜内有甲丙丁己兩直線等題言甲乙
　　　　　丙與丁戊己兩大分甲丙與丁己兩小分
　　　　　各等
　　　　　論曰試于甲庚庚丙丁辛辛己各作直線
　　　　　其甲庚丙角形之甲丙與丁辛己角形之
　丁己兩底既等而甲庚庚丙兩腰與丁辛辛己兩腰
<pb:KR3f0047_WYG_003-46b>
　又等即庚辛兩角亦等(一卷/八)其所乘之甲丙丁己兩
　小分必等(本篇/廿六)次減相等之甲丙丁己兩小分則所
　存甲乙丙丁戊己兩大分亦等
　第二十九題
等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等
　　　　　　　　解曰依前題兩圜之甲乙丙丁戊
　　　　　　　　己兩圜分等而甲丙丁己兩圜分
　亦等題言甲丙丁己兩線必等
<pb:KR3f0047_WYG_003-47a>
　　　　　論曰依前題作四線其甲庚丙角形之甲
　　　　　庚庚丙兩腰與丁辛己角形之丁辛辛己
　　　　　兩腰等而庚辛兩角所乘之甲丙丁己兩
　　　　　圜分等即庚辛兩角亦等(本篇/廿七)而對等角
　　　　　之甲丙丁己兩線必等(一卷/四)
　　注曰第二十六至二十九四題所説俱等圜其在
　　同圜亦依此論
　第三十題
<pb:KR3f0047_WYG_003-47b>
有圜之分求兩平分之
　　　　　法曰甲乙丙圜分求兩平分先于分之兩
　　　　　界作甲丙線次兩平分于丁從丁作乙丁
　　　　　為甲丙之垂線即乙丁分甲乙丙圜分為
　兩平分
　論曰從乙作乙甲乙丙兩線其甲乙丁角形之甲丁
　與丙乙丁角形之丙丁兩腰等丁乙同腰而甲丁乙
　與丙丁乙兩直角又等即對直角之甲乙乙丙兩底
<pb:KR3f0047_WYG_003-48a>
　亦等(一卷/四)而甲乙與乙丙兩圜分亦等(本篇/十八)則甲乙
　丙圜界兩平分于乙矣
　第三十一題(五支/)
負半圜角必直角負大分角小于直角負小分角大于
　直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角
　　　　　　解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙于半
　　　　　　圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角
　　　　　　負甲乙丙半圜分乙甲丙角負乙甲丙
<pb:KR3f0047_WYG_003-48b>
　大分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分題先言負半
　圜之甲乙丙為直角二言負大分之乙甲丙角小于
　直角三言負小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙
　甲大圜分角大于直角後言丙乙戊小圜分角小于
　直角
　先論曰試作乙丁線次以甲乙線引長之至已其丁
　乙丁甲兩線等即丁乙甲丁甲乙兩角等(一卷/五)依顯
　丁乙丙丁丙乙兩角亦等而甲乙丙全角與乙甲丙
<pb:KR3f0047_WYG_003-49a>
　甲丙乙兩角并等又己乙丙外角亦與相對之乙甲
　丙甲丙乙兩内角并等(一卷/卅二)則己乙丙與甲乙丙等
　為直角
　二論曰甲乙丙角形之甲乙丙既為直角則乙甲丙
　小于直角(一卷/十七)
　三論曰甲乙戊丙四邊形在圜之内其乙甲丙乙戊
　丙相對兩角并等兩直角(本篇/廿二)而乙甲丙小于直角
　則乙戊丙大于直角
<pb:KR3f0047_WYG_003-49b>
　四論曰甲乙丙直角為丙乙甲大圜分角之分則大
　于直角
　後論曰丙乙戊小圜分角為己乙丙直角之分則小
　于直角
　　　　此題别有四解四論先解曰甲乙丙半圜其
　　　　心丁其上任作甲乙丙角題言此為直角
　　　　論曰試作乙丁線其丁乙丁甲兩線既等即
　丁乙甲丁甲乙兩角亦等(一卷/五)而乙丁丙外角既與
<pb:KR3f0047_WYG_003-50a>
　丁乙甲丁甲乙相對之兩内角并等(一卷/卅二)即倍大于
　丁乙甲角依顯乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即
　乙丁甲乙丁丙兩角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁
　甲乙丁丙并等兩直角(一卷/十三)則甲乙丙為直角
　　　　　二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙
　　　　　丙角題言此小于直角
　　　　　論曰試作甲丁戊徑線次作乙戊線相聯
　其甲乙戊既為直角(本題/一論)即甲乙丙為其分而小于
<pb:KR3f0047_WYG_003-50b>
　直角
　　　　　三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙
　　　　　丙角題言此大于直角
　　　　　論曰試作甲丁戊徑線而引乙丙圜界至
　戊次作乙戊線其甲乙戊既負半圜之直角而為甲
　乙丙角之分則甲乙丙大于直角
　四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊
　題言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角
<pb:KR3f0047_WYG_003-51a>
　　　　　　小于直角
　　　　　　論曰試作乙戊丙徑線次作乙甲線引
　　　　　　長之至己其乙甲丙直角為丙甲乙大
　圜分角之分而丙甲丁小圜分角又為己甲丙直角
　之分則大分角大于直角小分角小于直角
　一系凡角形之内一角與兩角并等其一角必直角
　何者其外角與内相對之兩角等則與外角等之内
　交角豈非直角
<pb:KR3f0047_WYG_003-51b>
　二系大分之角大于直角小分之角小于直角終無
　有角等于直角又從小過大從大過小非大即小終
　無相等依此題四五論甚明與本篇十六題増注互
　相發也
　第三十二題
直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分内各任為
　負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互
　相等
<pb:KR3f0047_WYG_003-52a>
　解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙從丙任作丙戊直線
　割圜為兩分兩分内任作丙丁戊丙庚戊兩負圜角
　　　　　題言甲丙戊角與丙庚戊角乙丙戊角與
　　　　　丙丁戊角交互相等
　　　　　先論割圜線過心者曰如前圖甲丙戊乙
　　　　　丙戊兩皆直角(一卷/十八)而丙庚戊丙丁戊兩
　　　　　負半圜角亦皆直角(本篇/卅一)則交互相等
　　　　　後論割圜線不過心者曰如後圖試作丙
<pb:KR3f0047_WYG_003-52b>
　　　　　己過心直線次作戊己線相聯其己丙為
　　　　　甲乙之垂線(一卷/十八)而丙戊己為直角(本篇/卅一)
　　　　　即戊丙己戊己丙兩角并等于一直角亦
　等于甲丙己角矣此兩率者各減同用之戊丙己角
　即所存戊己丙與甲丙戊等也夫戊己丙與丙庚戊
　元等(本卷/廿一)則甲丙戊與丙庚戊交互相等又丙丁戊
　庚四邊形之丙丁戊丙庚戊兩對角并等兩直角(本/篇)
　(廿/二)而甲丙戊乙丙戊兩交角亦等兩直角(一卷/十三)此二
<pb:KR3f0047_WYG_003-53a>
　率者各減一相等之甲丙戊丙庚戊則所存丙丁戊
　乙丙戊亦交互相等
　第三十三題
一線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等
　　　　先法曰設甲乙線丙角求線上作圜分而負
　　　　圜分角與丙等其丙角或直或鋭或鈍若直
　　　　角先以甲乙兩平分于丁次以丁為心甲乙
　為界作半圜圜分内作甲戊乙角即負半圜角為直
<pb:KR3f0047_WYG_003-53b>
　角(本篇/卅一)如所求
　　　　　　次法曰若設丙鋭角先于甲㸃上作丁
　　　　　　甲乙鋭角與丙等次作戊甲為甲丁之
　　　　　　垂線于甲乙之上次作己乙甲角與己
　　　　　　甲乙角等而乙己線與甲戊線遇于己
　即己乙己甲兩線等(一卷/六)末以己為心甲為界作甲
　庚圜必過乙即甲庚乙圜分内甲乙線上所作負圜
　角必為鋭角而與丙等
<pb:KR3f0047_WYG_003-54a>
　論曰試作甲庚乙角其甲己戊線過己心而丁甲又
　為戊甲之垂線即丁甲線切甲庚乙圜于甲(本篇十/六之系)
　則丁甲乙與甲庚乙兩角交互相等(本篇/卅二)如所求
　後法曰若設辛鈍角依前作壬甲乙鈍角與辛等次
　作戊甲為壬甲之垂線餘倣第二法而于甲乙線上
　作甲癸乙等即與辛等
　後論同次
　第三十四題
<pb:KR3f0047_WYG_003-54b>
設圜求割一分而負圜分角與所設直線角等
　　　　　法曰設甲乙丙圜求割一分而負圜分角
　　　　　與丁等先作戊己直線切圜于甲(本篇/十七)次
　　　　　作已甲乙角與丁等即割圜之甲乙線上
　　　　　所作甲丙乙角負甲丙乙圜分而與丁等
　何者已甲乙角與丁等亦與甲丙乙交互相等故(本/篇)
　(卅/二)
　第三十五題
<pb:KR3f0047_WYG_003-55a>
圜内兩直線交而相分各兩分線矩内直角形等
　　　　　解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩線交
　　　　　而相分于戊題言甲戊偕戊乙與丙戊偕
　　　　　戊丁兩矩内直角形等其兩線或俱過心
　或一過心一不過心或俱不過心若俱過心者其各
　分四線等即兩矩内直角形亦等
　先論曰圜内線獨丙丁過己心者又有二種其一丙
　丁平分甲乙線于戊即丙戊線在甲乙上為兩直角
<pb:KR3f0047_WYG_003-55b>
　　　　　(本篇/三)試作已乙線相聯其丙丁線既兩平
　　　　　分于己又任兩分于戊即丙戊偕戊丁矩
　　　　　内直角形及已戊上直角方形并與等已
　丁之已乙上直角方形等(二卷/五)夫已乙上直角方形
　與已戊戊乙上兩直角方形并等(一卷/四七)即丙戊偕戊
　丁矩内直角形及已戊上直角方形并與已戊戊乙
　上兩直角方形并亦等矣次每減同用之已戊上直
　角方形則所存丙戊偕戊丁矩内直角形不與戊乙
<pb:KR3f0047_WYG_003-56a>
　上直角方形等乎戊乙與甲戊既等即甲戊偕戊乙
　矩内直角形與丙戊偕戊丁矩内直角形亦等
　　　　　次論曰若丙丁任分甲乙線于戊即以甲
　　　　　乙線兩平分于庚次于庚已已乙各作直
　　　　　線相聯即已庚為甲乙之垂線而成兩直
　　　　　角(本篇/三)其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳
　　　　　戊上直角方形并與等已丁之已乙上直
　　　　　角方形等(二卷/五)而已戊上直角方形與已
<pb:KR3f0047_WYG_003-56b>
　庚庚戊上兩直角方形并等(一卷/四七)已乙上直角方形
　與已庚庚乙上兩直角方形并亦等則丙戊偕戊丁
　矩内直角形及已庚庚戊上兩直角方形并與已庚
　庚乙上兩直角方形并等次每減同用之已庚上直
　角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上
　直角方形不與庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊
　乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦與庚乙上
　直角方形等(二卷/五)此二相等率者每減同用之庚戊
<pb:KR3f0047_WYG_003-57a>
　上直角方形則丙戊偕戊丁與甲戊偕戊乙兩矩内
　直角形等矣
　　　　　後論曰圜内兩線俱不過心者又有二種
　　　　　或一線平分或兩俱任分皆從已心與戊
　　　　　相聨作直線引長之為庚辛線依上論甲
　　　　　戊偕戊乙矩内直角形不論甲乙線平分
　　　　　任分皆與過心之庚戊偕戊辛矩内直角
　　　　　形等又依上論丙戊偕戊丁矩内直角形
<pb:KR3f0047_WYG_003-57b>
　不論丙丁線平分任分亦與過心之庚戊偕戊辛矩
　内直角形等則甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩内
　直角形等
　第三十六題
圜外任取一㸃從㸃出兩直線一切圜一割圜其割圜
　之全線偕規外線矩内直角形與切圜線上直角方
　形等
　解曰甲乙丙圜外任取丁㸃從丁作丁乙線切圜于
<pb:KR3f0047_WYG_003-58a>
　乙(本篇/十七)作丁甲線截圜界于丙題言甲丁偕丙丁矩
　内直角形與丁乙上直角方形等
　　　　　先論丁甲過戊心者曰試作乙戊線為丁
　　　　　乙之垂線(本篇/十八)其甲丙線平分于戊又引
　　　　　出一丙丁線即甲丁偕丙丁矩内直角形
　及等戊丙之戊乙上直角方形并與戊丁上直角方
　形等(二卷/六)而戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直
　角方形并等(一卷/四七)即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊
<pb:KR3f0047_WYG_003-58b>
　乙上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等此
　兩率者每減同用之戊乙上直角方形則所存甲丁
　偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等
　　　　　　　　　　後論丁甲不過戊心者曰試
　　　　　　　　　　以甲丙線兩平分于已次從
　　　　　　　　　　戊心作戊已戊丙戊丁戊乙
　四線即戊乙為丁乙之垂線(本篇/十八)戊已為甲丙之垂
　線(本篇/三)其甲丙線既兩平分于已又引出一丙丁線
<pb:KR3f0047_WYG_003-59a>
　　　　　即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直
　　　　　角方形并與已丁上直角方形等(二卷/六)次
　　　　　每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙
　　　　　矩内直角形及已丙戊已上兩直角方形
　　　　　并與己丁戊己上兩直角方形并等夫己
　　　　　丙戊己上兩直角方形并與等戊丙之戊
　乙上直角方形等(一卷/四七)而戊丁上直角方形與己丁
　戊己上兩直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角
<pb:KR3f0047_WYG_003-59b>
　形及戊乙上直角方形與戊丁上直角方形等矣又
　戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等
　即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并
　與戊乙丁乙上兩直角方形并等次每減同用之戊
　乙上直角方形則所存甲丁偕丁丙矩内直角形與
　　　　　丁乙上直角方形等
　　　　　一系若從圜外一㸃作數線至規内各全
　　　　　線偕規外線矩内直角形俱等如從甲作
<pb:KR3f0047_WYG_003-60a>
　甲丙甲丁甲戊各線截圜界于己于庚于辛其甲丙
　偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱
　等何者試作甲乙切圜線則各矩線内直角形與甲
　乙上直角方形俱等故(本/題)
　　　　　二系從圜外一㸃作兩直線切圜此兩線
　　　　　等如甲㸃作甲乙甲丙兩切圜線即甲丙
　　　　　與甲乙等何者試從甲作甲丁線截圜界
　于戊其甲乙甲丙上兩直角方形各與甲丁偕甲戊
<pb:KR3f0047_WYG_003-60b>
　矩内直角形等(本/題)則此兩直角方形自相等
　　　　　三系從圜外一㸃止可作兩直線切圜若
　　　　　言從甲既作甲乙甲丙兩線切圜又可作
　　　　　甲丁線亦切圜令從戊心作戊乙戊丁兩
　線即甲乙戊為直角而甲丁戊亦宜等為直角(本篇/十八)
　試作甲戊直線則甲乙戊角形内有甲丁戊角應大
　于甲乙戊角(一卷/廿一)安得為直角也又甲乙甲丁若俱
　切圜即兩線宜等(本題/二系)試作甲戊線截圜于己則甲
<pb:KR3f0047_WYG_003-61a>
　丁為近己線甚小當小于逺己之甲乙線(本篇/八)又安
　得相等也故一㸃上止可作切圜線兩也
　第三十七題
圜外任于一㸃出兩直線一至規外一割圜至規内而
　割圜全線偕割圜之規外線矩内直角形與至規外
　之線上直角方形等則至規外之線必切圜
　解曰甲乙丙圜其心戊從丁㸃作丁乙至規外之線
　遇圜界于乙又作丁甲割圜至規内之線而截圜界
<pb:KR3f0047_WYG_003-61b>
　　　　　于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形與丁乙
　　　　　上直角方形等題言丁乙為切圜線
　　　　　論曰試從丁作丁己線切圜于己(本篇/十七)次
　　　　　作戊乙戊己兩線相聯若丁甲不過戊心
　　　　　者又作丁戊直線其丁己上直角方形與
　　　　　丁甲偕丁丙矩内直角形等(本篇/卅六)而丁乙
　上直角方形與丁甲偕丁丙矩内直角形亦等則丁
　乙丁己上兩直角方形自相等而丁乙丁己兩線亦
<pb:KR3f0047_WYG_003-62a>
　等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊與丁己戊角形之丁
　己己戊各兩腰等丁戊同底即兩角形之三角各等
　(一卷/八)而對丁戊底之丁己戊為直角(本篇/十八)即丁乙戊
　亦直角故丁乙為切圜線(本篇十/六之系)
　
　
　
　
<pb:KR3f0047_WYG_003-62b>
　
　
　
　
　
　
　
　幾何原本卷三

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#+TITLE: 幾何原本
#+DATE: 2015-08-24 23:11:01.999788
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#+PROPERTY: BASEEDITION WYG    
#+PROPERTY: JUAN 卷四之首
<pb:KR3f0047_WYG_004-1a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷四之首
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇譯
　　界說七則
　第一界
直線形居他直線形内而此形之各角切他形之各邉
　為形内切形
　此卷將論切形在圜之内外及作圜在形之内外故
<pb:KR3f0047_WYG_004-1b>
　　　　　解形之切在形内及切在形外者先以直
　　　　　線形為例如前圖丁戊己角形之丁戊己
　　　　　三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三
　　　　　邉則丁戊己為甲乙丙之形内切形如後
　　　　　圖癸子丑角形雖癸子兩角切庚辛壬角
　　　　　形之庚辛壬庚兩邉而丑角不切辛壬邉
　則癸子丑不可謂庚辛壬之形内切形
　第二界
<pb:KR3f0047_WYG_004-2a>
一直線形居他直線形外而此形之各邉切他形之各
　角為形外切形
　如第一界圖甲乙丙為丁己戊之形外切形　其餘
　各形倣此二例
　第三界
直線形之各角切圜之界為圜内切形
　　　　甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙
　　　　是也
<pb:KR3f0047_WYG_004-2b>
　第四界
直線形之各邉切圜之界為圜外切形
　　　　　甲乙丙形之三邉切圜界于丁于己于戊
　　　　　是也
　第五界
圜之界切直線形之各邉為形内切圜
　同第四界圖
　第六界
<pb:KR3f0047_WYG_004-3a>
圜之界切直線形之各角為形外切圜
　同第三界圖
　第七界
直線之兩界各抵圜界為合圜線
　　　　甲乙線兩界各抵甲乙丙圜之界為合圜線
　　　　若丙抵圜而丁不至及戊之兩俱不至不為
　　　　合圜線
　
<pb:KR3f0047_WYG_004-3b>
　
　
　
　
　
　
　
　幾何原本卷四之首
#+PROPERTY: JUAN 卷四
<pb:KR3f0047_WYG_004-4a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷四
　　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇撰
　第一題
有圜求作合圜線與所設線等此設線不大于圜之徑線
　　　　　法曰甲乙丙圜求作合線與所設丁線等
　　　　　其丁線不大于圜之徑線(徑為圜内之最/大線更大不可)
　　　　　(合見三/卷十五)先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與
<pb:KR3f0047_WYG_004-4b>
　丁等者即是合線若丁小于徑者即于乙丙上截取
　乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙
　丙圜于甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙
　戊等則與丁等
　第二題
有圜求作圜内三角切形與所設三角形等角
　法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設
　丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜于甲(三卷/十七)
<pb:KR3f0047_WYG_004-5a>
　　　　　次作庚甲乙角與設形之己角等次作辛
　　　　　甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即
　　　　　圜内三角切形與所設丁戊己形等角
　　　　　論曰甲丙乙與庚甲乙兩角等甲乙丙與
　辛甲丙兩角亦等(三卷/卅二)而庚甲乙辛甲丙兩角既與
　所設己戊兩角各等即甲丙乙甲乙丙亦與己戊各
　等而乙甲丙必與丁等(一卷/卅二)則三角俱等
　第三題
<pb:KR3f0047_WYG_004-5b>
有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角
　　　　　法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三
　　　　　角與所設丁戊己形之三角各等先于戊
　　　　　己一邉引長之為庚辛次于圜界抵心作
　　　　　甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作
　　　　　乙壬丙角與丁己辛等末于甲乙丙上作
　癸子子丑丑癸三垂線此三線各切圜于甲于乙于丙(三卷/十六)
　(之/系)而相遇于子于丑于癸(若作甲丙線郎癸甲丙癸/丙甲兩角小于兩直角而)
<pb:KR3f0047_WYG_004-6a>
　　　　　(子癸丑癸兩線必/相遇餘二倣此)此癸子丑三角與所設
　　　　　丁戊己三角各等
　　　　　論曰甲壬乙子四邉形之四角與四直角
　　　　　等(一卷卅/二題内)而壬甲子壬乙子兩為直角即
　　　　　甲壬乙甲子乙兩角并等兩直角彼丁戊
　庚丁戊己兩角并亦等兩直角(一卷/十三)此二等率者每
　减一相等之丁戊庚甲壬乙則所存丁戊己與甲子
　乙等依顯丑角與丁己戊等則癸與丁亦等(一卷/卅二)而
<pb:KR3f0047_WYG_004-6b>
　癸子丑與丁戊己兩形之各三角俱等
　第四題
三角形求作形内切圜
　　　　法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙
　　　　丙角甲丙乙角各兩平分之(一卷/九)作乙丁丙
　　　　丁兩直線相遇于丁次自丁至角形之三邉
　　　　各作垂線為丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形
　之丁戊乙丁乙戊兩角與乙丁己角形之丁己乙丁
<pb:KR3f0047_WYG_004-7a>
　乙己兩角各等乙丁同邉即丁戊丁己兩邉亦等(一/卷)
　(廿/六)依顯丁丙己角形與丁庚丙角形之丁己丁庚兩
　邉亦等即丁戊丁己丁庚三線俱等末作圜以丁為
　心戊為界即過庚己為戊庚己圜而切角形之甲乙
　乙丙丙甲三邉于戊于己于庚(三卷十/六之系)此為形内切
　圜
　第五題
三角形求作形外切圜
<pb:KR3f0047_WYG_004-7b>
　法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邉(若形/是直)
　(角鈍角則分直角/鈍角之兩旁邉)于丁于戊次于丁戊上各作垂線
　　　　　為己丁己戊而相遇于己(若自丁至戊作/直線即己丁戊)
　　　　　(角形之己丁戊己戊丁兩角小于/兩直角故丁己戊己兩線必相遇)其己㸃
　　　　　或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙
　　　　　三線或在乙丙邉上止作己甲線其甲丁
　　　　　己角形之甲丁與乙丁己角形之乙丁兩
　　　　　腰等丁己同腰而丁之兩旁角俱直角即
<pb:KR3f0047_WYG_004-8a>
　　　　　甲己己乙兩底必等(一卷/四)依顯甲己戊丙
　　　　　己戊兩形之甲己己丙兩底亦等則己甲
　　　　　己乙己丙三線俱等末作圜以己為心甲
　為界必切丙乙而為角形之形外切圜
　一系若圜心在三角形内即三角形為銳角形何者
　每角在圜大分之上故若在一邉之上即為直角形
　若在形外即為鈍角形
　二系若三角形為銳角形即圜心必在形内若直角
<pb:KR3f0047_WYG_004-8b>
　形必在一邉之上若鈍角形必在形外
　　増從此推得一法任設三㸃不在一直線可作一
　　過三㸃之圜其法先以三㸃作三直線相聯成三
　　角形次依前作
　　　　　　　其同法甲乙丙三㸃先以甲乙兩㸃
　　　　　　　各自為心相向各任作圜分令兩圜
　　　　　　　分相交于丁于戊次甲丙兩㸃亦如
　　　　　　　之令兩圜分相交于己于庚末作丁
<pb:KR3f0047_WYG_004-9a>
　　戊己庚兩線各引長之令相交于辛即辛為圜之
　　心　論見三卷二十五增
　第六題
有圜求作内切圜直角方形
　　　　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角
　　　　方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于
　戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁為内
　切圜直角方形
<pb:KR3f0047_WYG_004-9b>
　論曰甲乙戊角形之甲戊與乙戊丙角形之戊丙兩
　腰等乙戊同腰而腰間角兩為直角即其底甲乙乙
　丙等(一卷/四)依顯乙丙丙丁亦等則四邉形之四邉俱
　等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角(三/卷)
　(卅/一)是為内切圜直角方形
　第七題
有圜求作外切圜直角方形
　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先
<pb:KR3f0047_WYG_004-10a>
　　　　作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊次于
　　　　甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩
　徑之垂線而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛
　為外切圜直角方形
　論曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行(一/卷)
　(廿/八)依顯甲丙庚壬亦平行則己庚辛壬亦平行(一卷/三十)
　又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等(一卷/卅四)而甲
　丙辛甲己辛兩角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦
<pb:KR3f0047_WYG_004-10b>
　直角依顯庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邉俱
　等于甲丙乙丁兩徑既四邉俱等于兩徑則己庚壬
　辛為直角方形而四邉各切圜(三卷十/六之系)
　第八題
直角方形求作形内切圜
　　　　法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先
　　　　以四邉各兩平分于戊于己于庚于辛而作
　辛己戊庚兩線交于壬其甲丁與乙丙既平行相等
<pb:KR3f0047_WYG_004-11a>
　即半減線之甲辛乙己亦平行相等而甲乙與辛己
　　　　亦平行相等(一卷/卅三)依顯丁丙與辛己亦平行
　　　　相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙
　壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四線
　與甲辛戊乙丁辛甲戊四線各等夫甲辛戊乙丁辛
　甲戊各為等線之半即與之等者壬戊壬己壬庚壬
　辛亦自相等次作圜以壬為心戊為界必過己庚辛
　而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉(三卷/十六)是為形内切圜
<pb:KR3f0047_WYG_004-11b>
　第九題
直角方形求作形外切圜
　　　　法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作
　　　　對角兩線為甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁
　角形之甲乙甲丁兩腰等即甲乙丁甲丁乙兩角亦
　等(一卷/五)而乙甲丁為直角即甲乙丁甲丁乙俱半直
　角(一卷/卅二)依顯丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱
　等又戊甲丁戊丁甲兩角等即戊甲戊丁兩邉亦等
<pb:KR3f0047_WYG_004-12a>
　(一卷/六)依顯戊甲戊乙兩邉亦等而戊乙戊丙兩邉戊
　丙戊丁兩邉各等次作圜以戊為心甲為界必過乙
　丙丁而為形外切圜
　第十題
求作兩邉等三角形而底上兩角各倍大于腰間角
　　　　　法曰先任作甲乙線次分之于丙其分法
　　　　　須甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直
　　　　　角方形等(二卷/十一)次以甲為心乙為界作乙
<pb:KR3f0047_WYG_004-12b>
　丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等(本篇/一)末作甲丁線
　相聯其甲乙甲丁等即甲乙丁為兩邉等角形而甲
　乙丁甲丁乙兩角各倍大于甲角
　論曰試作丙丁線而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜
　(本篇/五)其甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方
　形等即亦與至規外之乙丁上直角方形等而乙丁
　線切甲丙丁圜于丁(三卷/卅七)即乙丁切線偕丁丙割線
　所作乙丁丙角與負丁甲丙圜分之甲角交互相等
<pb:KR3f0047_WYG_004-13a>
　(三卷/卅二)此二率者毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角與
　丙甲丁丙丁甲兩角并等夫乙丙丁外角亦與丙甲
　丁丙丁甲相對之兩内角等(一卷/卅二)即乙丙丁角與甲
　丁乙全角等而與相等之甲乙丁亦等丙丁與乙丁
　兩線亦等(一卷/六)夫乙丁元與甲丙等即丙丁與甲丙
　亦等丙甲丁丙丁甲兩角亦等而甲角既與乙丁丙
　角等即乙丁丙與丙丁甲兩角亦等是甲丁乙倍大
　于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙
<pb:KR3f0047_WYG_004-13b>
　丁亦倍大于甲也
　第十一題
有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角
　　　　　法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形
　　　　　等邉等角先作己庚辛兩邉等角形而庚
　　　　　辛兩角各倍大于己角(本篇/十)次于圜内作
　　　　　甲丙丁角形與己庚辛角形各等角(本篇/二)
　次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分(一卷/九)作丙戊丁
<pb:KR3f0047_WYG_004-14a>
　乙兩線末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聯即
　甲乙丙丁戊為五邉内切圜形而五邉五角俱自相
　等
　論曰甲丙丁甲丁丙兩角皆倍大于丙甲丁角而兩
　角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲
　五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲
　五圜分亦等(三卷/廿六)即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線
　亦等(三卷/廿九)是五邉形之五邉等又甲乙戊丁兩圜分
<pb:KR3f0047_WYG_004-14b>
　等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁與戊丁丙乙
　兩圜分等乘兩圜分之甲戊丁乙甲戊兩角亦等依
　顯餘三角與兩角俱等是五邉形之五角等
　第十二題
有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角
　　　　　法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形
　　　　　等邉等角先作圜内甲乙丙丁戊五邉等
　　　　　邉等角切形(本篇/十一)次從己心作己甲己乙
<pb:KR3f0047_WYG_004-15a>
　己丙己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸
　癸子子庚五埀線相遇于庚于辛于壬于癸于子(庚/戊)
　(甲庚甲戊兩角小于兩直角故/甲庚戊庚線必相遇餘四倣此)五埀線既切圜(三卷/十六)
　即成外切圜五邉形而等邉等角
　論曰試從己心作己庚己辛己壬己癸己子五線其
　己甲甲辛上兩直角方形己乙乙辛上兩直角方形
　之兩并各與己辛上直角方形等(一卷/四七)即兩并自相
　等此兩并率者每減一相等之甲己己乙上直角方
<pb:KR3f0047_WYG_004-15b>
　形即所存甲辛辛乙上兩直角方形等則甲辛辛乙
　兩線等也又甲己辛角形之甲己與乙己辛角形之
　乙己兩腰等己辛同腰而甲辛辛乙兩底又等即甲
　己辛辛己乙兩角等(一卷/八)而甲辛己乙辛己兩角亦
　等(一卷/四)則甲己乙角倍大于辛己乙角也依顯乙己
　丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬
　己角也又甲己乙乙己丙兩角乘甲乙乙丙相等之
　兩圜分(線等故圜分等/見三卷廿八)即兩角自相等(三卷/廿七)半減之
<pb:KR3f0047_WYG_004-16a>
　辛己乙乙己壬兩角亦等　乙己辛角形之乙己辛
　辛乙己兩角與乙己壬角形之乙己壬壬乙己兩角
　各等而乙己同邉是辛乙乙壬兩邉亦等也(一卷/廿六)乙
　辛己乙壬己兩角亦等也則辛壬線倍大于辛乙線
　　　　　也依顯庚辛線亦倍大于辛甲線也前己
　　　　　顯甲辛辛乙兩線等則倍大之庚辛辛壬
　　　　　兩線亦等也依顯壬癸癸子子庚與庚辛
　辛壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五邉等又依前
<pb:KR3f0047_WYG_004-16b>
　所顯乙辛己與乙壬己兩角等是乙辛甲之減半角
　與乙壬丙之減半角等即倍大之乙辛甲與乙壬丙
　亦等也依顯辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛與庚辛
　壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五角等
　第十三題
五邉等邉等角形求作形内切圜
　法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先
　分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分(一卷/九)其線為己甲
<pb:KR3f0047_WYG_004-17a>
　　　　　己乙而相遇于己(己甲乙己乙甲兩角小/于兩直角故己甲己乙)
　　　　　(兩線必/相遇)自己作己丙己丁己戊三線其甲
　　　　　己乙角形之甲乙腰與乙己丙角形之乙
　丙腰等乙己同腰而兩腰間之甲乙己丙乙己兩角
　等即甲己己丙兩底亦等乙甲己乙丙己兩角亦等
　(一卷/四)又乙甲戊與乙丙丁兩角等而乙甲己為乙甲
　戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半則乙丙丁角亦兩
　平分于己丙線矣依顯丙丁戊丁戊甲兩角亦兩平
<pb:KR3f0047_WYG_004-17b>
　　　　　分于己丁己戊兩線矣次從己向各邉作
　　　　　己庚己辛己壬己癸己子五埀線其甲己
　　　　　庚角形之己甲庚己庚甲兩角與甲己子
　角形之己甲子己子甲兩角各等甲己同邉即兩形
　必等(一卷/廿六)己子與己庚兩線亦等依顯己辛己壬己
　癸三埀線與己庚己子兩埀線俱等末作圜以己為
　心庚為界必過辛壬癸子而為甲乙丙丁戊五邉形
　之内切圜(三卷/十六)
<pb:KR3f0047_WYG_004-18a>
　第十四題
五邉等邉等角形求作形外切圜
　法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先
　　　　　分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為
　　　　　己甲己乙而相遇于己(說見/前)次從己作己
　　　　　丙己丁己戊三線依前題論推顯乙丙丁
　丙丁戊丁戊甲三角各兩平分于己丙己丁己戊三
　線夫五角既等即其半減之角亦等而甲乙己角形
<pb:KR3f0047_WYG_004-18b>
　之己甲乙己乙甲兩角等即甲己與己乙兩線亦等
　(一卷/六)依顯己丙己丁己戊三線與己甲己乙俱等末
　作圜以己為心甲為界必過乙丙丁戊而為甲乙丙
　丁戊五邉形之外切圜
　第十五題
有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
　法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邊内切圜形
　等邊等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界作圜
<pb:KR3f0047_WYG_004-19a>
　　　　　　兩圜相交于丙于戊次從庚心作丙庚
　　　　　　戊庚兩線各引長之為丙己戊乙末作
　　　　　　甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相
　聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邉形而等邉等角
　論曰庚丙庚丁兩線等而丁丙與丁庚亦等(依圜/界說)三
　邉俱等即庚丙丁為平邉角形而庚丁丙丁丙庚丙
　庚丁三角俱等(一卷/五)此三角元與兩直角等(一卷/卅二)即
　每角為兩直角三分之一而丙庚丁角為兩直角三
<pb:KR3f0047_WYG_004-19b>
　分之一也依顯丁庚戊角亦兩直角三分之一而丙
　庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于兩直角(一卷/十三)即戊
　庚己角亦兩直角三分之一矣則丙庚丁丁庚戊戊
　庚己三角亦自相等而此三角與己庚甲甲庚乙乙
　庚丙三角亦等(一卷/十五)是輳庚心之六角俱自相等而
　所乗之六圜分(三卷/廿六)及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己
　甲六線俱自相等(三卷/廿九)則甲乙丙丁戊己形之六邉
　等乂乙丙與甲己兩圜分等而各加一丙丁戊己圜
<pb:KR3f0047_WYG_004-20a>
　分即乙丙丁戊己與甲己戊丁丙兩圜分等而所乗
　之乙甲己與甲乙丙兩角等(三卷/廿七)依顯乙丙丁丙丁
　戊丁戊己戊己甲四角與乙甲己甲乙丙兩角俱等
　則甲乙丙丁戊己形之六角等
　一系凡圜之半徑為六分圜之一之分弦何者庚丁
　與丁丙等故故一開規為圜不動而可六平分之
　二系依前十二十三十四題可作六邉等邉等角形
　在圜之外又六邉等邉等角形内可作切圜又六邉
<pb:KR3f0047_WYG_004-20b>
　等邉等角形外可作切圜
　第十六題
有圜求作圜内十五邉切形其形等邉等角
　法曰甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先
　　　　　　作甲乙丙内切圜平邉三角形與丁等
　　　　　　角(本篇/二)即三邉等而甲乙乙丙丙甲三
　　　　　　圜分亦等(三卷/廿八)夫甲乙丙圜十正分之
　　　　　　則甲乙三分圜之一當為十五分之五
<pb:KR3f0047_WYG_004-21a>
　次從甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角(本篇/十一)即
　甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等(三卷/廿八)夫甲乙丙
　圜十五分之則甲戊五分圜之一當為十五分之三
　而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分兩平分于壬
　(三卷/卅)則壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共
　作十五合圜線(本篇/一)則成十五邉等邉形而十五角
　所乗之圜分等即各角亦等(三卷/廿七)
　　一系依前十二十三十四題可作外切圜十五邉
<pb:KR3f0047_WYG_004-21b>
　　　　　　　形又十五邊形内可作切圜又十五邉
　　　　　　　形外可作切圜
　　　　　　　注曰依此法可設一法作無量數形
　　　　　　　如本題圗甲乙圜分為三分圜之一
　　即命三甲戊圜分為五分圜之一即命五三與五
　　相乗得十五即知此兩分法可作十五邉形又如
　　甲乙命三甲戊命五三與五較得二即知戊乙得
　　十五分之二因分戊乙為兩平分得壬乙線為十
<pb:KR3f0047_WYG_004-22a>
　　五分之一可作内切圜十五邊形也以此法爲例
　　作後題
　　增題若圜内從一㸃設切圜兩不等等邊等角形
　　之各一邊此兩邊一爲若干分圜之一一爲若干
　　分圜之一此兩若干分相乗之數卽後作形之邊
　　數此兩若干分之較數卽兩邊相距之圜分所得
　　後作形邊數内之分數
　　法曰甲乙丙丁戊圜内從甲㸃作數形之各一邊
<pb:KR3f0047_WYG_004-22b>
　　如甲乙爲六邊形之一邊甲丙爲五邊形之一邊
　　甲丁爲四邊形之一邊甲戊爲三邊形之一邊甲
　　乙命六甲丙命五較數一卽乙丙圜分爲所作三
　　十邊等邊等角形之一邊何者五六相乗爲三十
　　　　　　故當作三十邊也較數一故當爲一邊
　　　　　　也
　　　　　　論曰甲乙圜分爲六分圜之一卽得三
　　十分圜之五而甲丙爲五分圜之一卽得三十分
<pb:KR3f0047_WYG_004-23a>
　　圜之六則乙丙得三十分圜之一也依顯乙丁為
　　二十四邉形之二邉也何者甲乙命六甲丁命四
　　六乗四得二十四也又較數二也依顯乙戊為十
　　八邉形之三邉也丙丁為二十邉形之一邉也丙
　　戊為十五邉形之二邉也丁戊為十二邉形之一
　　邉也
　二系凡作形于圜之内等邉則等角何者形之角所
　乗之圜分皆等故(三卷/廿七)凡作形于圜之外即從圜心
<pb:KR3f0047_WYG_004-23b>
　作直線抵各角依本篇十二題可推顯各角等
　三系凡等邉形既可作在圜内即依圜内形可作在
　圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十
　二十三十四題
　四系凡圜内有一形欲作他形其形邉倍于此形邉
　即分此形一邉所合之圜分為兩平分而每分各作
　一合線即三邉可作六邉四邉可作八邉倣此以至
　無窮
<pb:KR3f0047_WYG_004-24a>
　又補題圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至
　小圜其多邉為偶數而等
　　　　　　法曰甲乙丙丁戊兩圜同以己為心求
　　　　　　于甲乙丙大圜内作多邉切形不至丁
　　　　　　戊小圜其多邉為偶數而等先從己心
　　　　　　作甲丙徑線截丁戊圜于戊次從戊作
　庚辛為甲戊之垂線即庚辛線切丁戊圜于戊也(三/卷)
　(十六/之系)夫甲庚丙圜分雖大于丙庚若于甲庚丙減其
<pb:KR3f0047_WYG_004-24b>
　半甲乙存乙丙又減其半乙壬存壬丙又減其半壬
　癸如是逓減至其減餘丙癸必小于丙庚(如下/補論)既得
　丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜線即丙癸為所
　求切圜形之一邉也次分乙壬圜分其分數與丙壬
　之分數等次分甲乙與乙丙分數等分丙甲與甲乙
　丙分數等則得所求形(三卷/廿九)而不至丁戊小圜
　論曰試從癸作癸子為甲丙之垂線遇甲丙于丑其
　庚戊丑癸丑戊兩皆直角即庚辛癸子為平行線(一/卷)
<pb:KR3f0047_WYG_004-25a>
　(廿/八)庚辛線之切丁戊圜既止一㸃即癸子線更在其
　外必不至丁戊矣何况丙癸更逺于丑癸乎依顯其
　餘與丙癸等邉同度距心者(三卷/十四)俱不至丁戊圜也
　(此係十二卷第十六題因六卷今/増題宜藉此論故先類附于此)
　補論其題曰兩幾何不等若于大率逓減其大半必
　可使其減餘小于元設小率
　解曰甲乙大率丙小率題言于甲乙逓減其大半至
　可使其減餘小于丙
<pb:KR3f0047_WYG_004-25b>
　　　　論曰試以丙倍之又倍之至僅大于甲乙而
　　　　止為丁戊丁戊之分為丁己己庚庚戊各與丙
　　　　等也次于甲乙減其大半甲辛存辛乙又減
　其大半辛壬存壬乙如是逓減至甲乙與丁戊之分
　數等夫甲辛辛壬壬乙與丁己己庚庚戊分數既等
　丁戊又大于甲乙若兩率各為兩分而大丁戊之減
　丁己止于半小甲乙之減甲辛為大半即丁戊之減
　餘必大于甲乙之減餘也若各為多分而己戊尚多
<pb:KR3f0047_WYG_004-26a>
　于丙者即又于己戊減己庚于辛乙減其大半辛壬
　如是逓減卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分
　壬乙也而庚戊元與丙等是壬乙小于丙也
　又論曰若于甲乙逓減其半亦同前論何者大丁戊
　所減不大于半則丁戊之減餘每大于甲乙之減餘
　以至末分亦大于末分(此係十卷第一題借/用于此以足上論)
　
　
<pb:KR3f0047_WYG_004-26b>
　
　
　
　
　
　
　
　幾何原本卷四

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#+TITLE: 幾何原本
#+DATE: 2015-08-24 23:11:02.018896
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#+PROPERTY: JUAN 卷五之首
<pb:KR3f0047_WYG_005-1a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷五之首
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇譯
　　界説十九則
　前四卷所論皆獨幾何也此下二卷所論皆自兩以
　　上多幾何同例相比者也而本卷則總説完幾何
　　之同例相比者也諸卷中獨此卷以虚例相比絶
　　不及線靣體諸類也第六卷則論線論角論圜界
<pb:KR3f0047_WYG_005-1b>
　　諸類及諸形之同例相比者也今先解向後所用
　　名目為界説十九
　第一界
分者幾何之幾何也小能度大以小為大之分
　　　　　以小幾何度大幾何謂之分曰幾何之幾
　　　　　何者謂非此小幾何不能為此大幾何之
　　　　　分也如一㸃無分亦非幾何即不能為線
　　　　　之分也一線無廣狹之分非廣狹之幾何
<pb:KR3f0047_WYG_005-2a>
　即不能為靣之分也一靣無厚薄之分非厚薄之幾
　何即不能為體之分也曰能度大者謂小幾何度大
　幾何能盡大之分者也如甲為乙為丙之分則甲為
　乙三分之一為丙六分之一無贏不足也若戊為丁
　之一即贏為二即不足己為丁之三即贏為四即不
　足是小不盡大則丁不能為戊己之分也以數明之
　若四于八于十二于十六于二十諸數皆能盡分無
　贏不足也若四于六于七于九于十于十八于三十
<pb:KR3f0047_WYG_005-2b>
　八諸數或贏或不足皆不能盡分者也本書所論皆
　指能盡分者故稱為分若不盡分者當稱幾分幾何
　之幾如四于六為三分六之二不得正名為分不稱
　小度大也不為大幾何内之小幾何也
　第二界
若小幾何能度大者則大為小之幾倍
　如第一界圖甲與乙能度丙則丙為甲與乙之幾倍
　若丁戊不能盡己之分則己不為丁戊之幾倍
<pb:KR3f0047_WYG_005-3a>
　第三界
比例者兩幾何以幾何相比之理
　兩幾何者或兩數或兩線或兩靣或兩體各以同類
　大小相比謂之比例若線與靣或數與線相比此異
　類不為比例又若白線與黒線熱線與冷線相比雖
　同類不以幾何相比亦不為比例也
　比例之説在幾何為正用亦有借用者如時如音如
　聲如所如動如稱之屬皆以比例論之
<pb:KR3f0047_WYG_005-3b>
　凡兩幾何相比以此幾何比他幾何則此幾何為前
　率所比之他幾何為後率如以六尺之線比三尺之
　線則六尺為前率三尺為後率也反用之以三尺之
　線比六尺之線則三尺為前率六尺為後率也
　比例為用甚廣故詳論之如左
　凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合
　如二十尺之線比十尺之線是也其非數可明者為
　小合如直角方形之兩邉與其對角線可以相比而
<pb:KR3f0047_WYG_005-4a>
　非數可明者是也
　如上二種又有二名其大合線為有兩度之線如二
　十尺比八尺兩線為大合則二尺四尺皆可兩度之
　者是也如此之類凡數之比例皆大合也何者有數
　之屬或無他數可兩度者無有一數不可兩度者若
　七比九無他數可兩度之以一則可兩度之也其小
　合線為無兩度之線如直角方形之兩邉與其對角
　線為小合即分至萬分以及無數終無小線可以盡
<pb:KR3f0047_WYG_005-4b>
　分能度兩率者是也(此論詳見/十卷末題)
　小合之比例至十卷詳之本篇所論皆大合也
　凡大合有兩種有等者如二十比二十十尺之線比
　十尺之線是也有不等者如二十比十八比四十六
　尺之線比二尺之線是也
　如上等者為相同之比例其不等者又有兩種有以
　大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十
　是也大合比例之以大不等者又有五種一為幾倍
<pb:KR3f0047_WYG_005-5a>
　大二為等帶一分三為等帶幾分四為幾倍大帶一
　分五為幾倍大帶幾分
　一為幾倍大者謂大幾何内有小幾何或二或三或
　十或八也如二十與四是二十内為四者五如三十
　尺之線與五尺之線是三十尺内為五尺者六則二
　十與四名為五倍大之比例也三十尺與五尺名為
　六倍大之比例也倣此為名可至無窮也
　二為等帶一分者謂大幾何内既有小之一别帶一
<pb:KR3f0047_WYG_005-5b>
　分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至
　無窮者是也如三與二是三内既有二别帶一一為二
　之半如十二尺與九尺之線是十二内既有九别帶
　三三為九三分之一則三與二名為等帶半也十二
　尺與九尺名為等帶三分之一也
　三為等帶幾分者謂大幾何内既有小之一别帶幾
　分而此幾分不能合為一盡分者是也如八與五是
　八内既有五别帶三一每一各為五之分而三一不
<pb:KR3f0047_WYG_005-6a>
　能合而為五之分也他如十與八其十内既有八别
　帶二一雖每一各為八之分與前例相似而二一却
　能為八四分之一是為帶一分屬在第二不屬三也
　則八與五名為等帶三分也又如二十二與十六即
　名為等帶六分也四為幾倍大帶一分者謂大幾何
　内既有小幾何之二之三之四等别帶一分此一分
　或元一之半或三分四分之一以至無窮者是也如
　九與四是九内既有二四别帶一一為四之分之一
<pb:KR3f0047_WYG_005-6b>
　則九與四名為二倍大帶四分之一也
　五為幾倍大帶幾分者謂大幾何内既有小幾何之
　二之三之四等别帶幾分而此幾分不能合為一盡
　分者是也如十一與三是十一内既有三三别帶二
　一每一各為三之分而二一不能合而為三之分也
　則十一與三名為三倍大帶二分也
　大合比例之以小不等者亦有五種俱與上以大不
　等五種相反為名一為反幾倍大二為反等帶一分
<pb:KR3f0047_WYG_005-7a>
　三為反等帶幾分四為反幾倍大帶一分五為反幾
　倍大帶幾分
　凡比例諸種如前所設諸數俱有書法書法中有全
　數有分數全數者如一二三十百等是也分數者如
　分一以二以三以四等是也書全數依本數書之不
　必立法書分數必有兩數一為命分數一為得分數
　如分一以三而取其二則為三分之二即三為命分
　數二為得分數也分一為十九而取其七則為十九
<pb:KR3f0047_WYG_005-7b>
　分之七即十九為命分數七為得分數也
　書以大小不等各五種之比例其一幾倍大以全數
　書之如二十與四為五倍大之比例即書五是也若
　四倍即書四六倍即書六也其反幾倍大即用分數
　書之而以大比例之數為命分之數以一為得分之
　數如大為五倍大之比例則此書五之一是也若四
　倍即書四之一六倍即書六之一也
　其二等帶一分之比例有兩數一全數一分數其全
<pb:KR3f0047_WYG_005-8a>
　數恒為一其分數則以分率之數為命分數恒以一
　為得分數如三與二名為等帶半即書一别書二之
　一也其反等帶一分則全用分數而以大比例之命
　分數為此之得分數以大比例之命分數加一為此
　之命分數如大為等帶二之一即此書三之二也又
　如等帶八分之一反書之即書九之八也又如等帶
　一千分之一反書之即書一千○○一之一千也
　其三等帶幾分之比例亦有兩數一全數一分數其
<pb:KR3f0047_WYG_005-8b>
　全數亦恒為一其分數亦以分率之數為命分數以
　所分之數為得分數如十與七名為等帶三分即書
　一别書七之三也其反等帶幾分亦全用分數而以
　大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分
　數加大之得分數為此之命分數如大為等帶七之
　三命數七得數三七加三為十即書十之七也又如
　等帶二十之三反書之二十加三即書二十三之二
　十也
<pb:KR3f0047_WYG_005-9a>
　其四幾倍大帶一分之比例則以幾倍大之數為全
　數以分率之數為命分數恒以一為得分數如二十
　二與七二十二内既有三七别帶一一為七分之一
　名為三倍大帶七分之一即以三為全數七為命分
　數一為得分數書三别書七之一也其反幾倍大帶
　一分則以大比例之命分數為此之得分數以大之
　命分數乘大之倍數加一為此之命分數如大為三
　帶七之一即以七乘三得二十一又加一為命分數
<pb:KR3f0047_WYG_005-9b>
　書二十二之七也又加五帶九之一反書之九乘五
　得四十五加一為四十六即書四十六之九也
　其五幾倍大帶幾分之比例亦以幾倍大之數為全
　數以分率之數為命分數以所分之數為得分數如
　二十九與八二十九内既有三八别帶五一名為三
　倍大帶五分即以三為全數八為命分數五為得分
　數書三别書八之五也其反幾倍大帶幾分則以大
　比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數
<pb:KR3f0047_WYG_005-10a>
　乘大之倍數加大之得分數為此之命分數如大為
　三帶八之五即以八乘三得二十四加五為二十九
　書二十九之八也又如四帶五之二即書二十二之
　五也
　以上大小十種足盡比例之凡不得加一減一
　第四界
兩比例之理相似為同理之比例
　兩幾何相比謂之比例兩比例相比謂之同理之比
<pb:KR3f0047_WYG_005-10b>
　　　　　　例如甲與乙兩幾何之比例偕丙與丁
　　　　　　兩幾何之比例其理相似為同理之比
　　　　　　例又若戊與己兩幾何之比例偕己與
　　　　　　庚兩幾何之比例其理相似亦同理之
　比例
　凡同理之比例有三種有數之比例有量法之比例
　有樂律之比例本篇所論皆量法之比例也量法比
　例又有二種一為連比例連比例者相續不斷其中
<pb:KR3f0047_WYG_005-11a>
　率與前後兩率逓相為比例而中率既為前率之後
　又為後率之前如後圖戊與己比己又與庚比是也
　二為斷比例斷比例者居中兩率一取不再用如前
　圖甲自與乙比丙自與丁比是也
　第五界
兩幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何
　上文言為比例之幾何必同類然同類中亦有無比
　例者故此界顯有比例之幾何也曰倍其身而能相
<pb:KR3f0047_WYG_005-11b>
　勝者如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身
　即大于八尺之線是為有比例之線也又如直角方
　形之一邉與其對角線雖非大合之比例可以數明
　而直角方形之一邉一倍之即大于對角線(兩邉等/三角形)
　(其兩邉并必大于/一邉見一卷二十)是亦有小合比例之線也又圜之
　徑四倍之即大于圜之界則圜之徑與界亦有小合
　比例之線也(圜之界當三徑七分徑/之一弱别見圜形書)又曲線與直線
　亦有比例如以大小兩曲線相合為初月形别作一
<pb:KR3f0047_WYG_005-12a>
　直角方形與之等(六卷三十三/一増題今附)即曲直兩線相視有
　大有小亦有比例也又方形與圜雖自古至今學士
　無數不能為相等之形然兩形相視有大有小亦不
　可謂無比例也又直線角與曲線角亦有比例如上
　圖直角鈍角鋭角皆有與曲線角等者若第一圖甲
　　　　乙丙直角在甲乙乙丙兩直線内而其間設
　　　　有甲乙丁與丙乙戊兩圜分角等即于甲乙
　　　　丁角加甲乙戊角則丁乙戊曲線角與甲乙
<pb:KR3f0047_WYG_005-12b>
　　　　丙直角等矣依顯壬庚癸曲線角與己庚辛
　　　　鈍角等也又依顯卯丑辰曲線角與子丑寅
　　　　鋭角各减同用之子丑丑辰内圜小分即兩
　　　　角亦等也此五者皆疑無比例而實有比例
　　　　者也他若有窮之線與無窮之線雖則同類
　實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之
　線故也又線與靣靣與體各自為類亦無比例何者
　畢世倍線不能及靣畢世倍靣不能及體故也又切
<pb:KR3f0047_WYG_005-13a>
　圜角與直線鋭角亦無比例何者依三卷十六題所
　説畢世倍切邉角不能勝至小之鋭角故也此後諸
　篇中每有倍此幾何令至勝彼幾何者故備著其理
　以需後論也
　第六界
四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第
　一第三之幾倍偕第二第四之幾倍其相視或等或
　俱為大俱為小恒如是
<pb:KR3f0047_WYG_005-13b>
　兩幾何曷顯其能為比例乎上第五界所説是也兩
　比例曷顯其能為同理之比例乎此所説是也其術
　　　　　　　　通大合小合皆以加倍法求之如
　　　　　　　　一甲二乙三丙四丁四幾何于一
　　　　　　　　甲三丙任加幾倍為戊為己戊倍
　甲己倍丙其數自相等次于二乙四丁任加幾倍為
　庚為辛庚倍乙辛倍丁其數自相等而戊與己偕庚
　與辛相視或等或俱大或俱小如是等大小累試之
<pb:KR3f0047_WYG_005-14a>
　恒如是即知一甲與二乙偕三丙與四丁為同理之
　比例也
　如初試之甲幾倍之戊小于乙幾倍之庚而丙幾倍
　之己亦小于丁幾倍之辛又試之倍甲之戊與倍乙
　之庚等而倍丙之己亦與倍丁之辛等三試之倍甲
　　　　　　　　之戊大于倍乙之庚而倍丙之己
　　　　　　　　亦大于倍丁之辛此之謂或相等
　　　　　　　　或雖不等而俱為大俱為小若累
<pb:KR3f0047_WYG_005-14b>
　合一差即元設四幾何不得為同理之比例如下第
　八界所指是也
　下文所論若言四幾何為同理之比例即當推顯第
　一第三之幾倍與第二第四之幾倍或等或俱大俱
　小若許其四幾何為同理之比例亦如之
　以數明之如有四幾何第一為三第二為二第三為
　六第四為四今以第一之三第三之六同加四倍為
　十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍
<pb:KR3f0047_WYG_005-15a>
　　　　　　為十四為二十八其倍第一之十二既
　　　　　　小于倍第二之十四而倍第三之二十
　　　　　　四亦小于倍第四之二十八也又以第
　　　　　　一之三第三之六同加六倍為十八為
　　　　　　三十六次以第二之二第四之四同加
　九倍為十八為三十六其倍第一之十八既等于倍
　第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之
　三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九
<pb:KR3f0047_WYG_005-15b>
　為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為
　八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之
　十八亦大于倍第四之八也若爾或俱大俱小或等
　累試之皆合則三與二偕六與四得為同理之比例
　也
　以上論四幾何者斷比例之法也其連比例法倣此
　但連比例之中率兩用之既為第二又為第三視此
　異耳
<pb:KR3f0047_WYG_005-16a>
　第七界
同理比例之幾何為相稱之幾何
　　　　　　　甲與乙若丙與丁是四幾何為同理之
　　　　　　　比例即四幾何為相稱之幾何又戊與
　　　　　　　己若己與庚即三幾何亦相稱之幾何
　第八界
四幾何若第一之幾倍大于第二之幾倍而第三之幾
　倍不大于第四之幾倍則第一與二之比例大于第
<pb:KR3f0047_WYG_005-16b>
　三與四之比例
　此反上第六界而釋不同理之兩比例其相視曷顯
　　　　　　　為大曷顯為小也謂第一第三之幾
　　　　　　　倍與第二第四之幾倍依上累試之
　　　　　　　其間有第一之幾倍大于第二之幾
　倍而第三之幾倍乃或等或小于第四之幾倍即第
　一與二之比例大于第三與四之比例也如上圖甲
　一乙二丙三丁四甲與丙各三倍為戊己乙與丁各
<pb:KR3f0047_WYG_005-17a>
　四倍為庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙
　三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲與乙之比例大
　于丙與丁也若第一之幾倍小于第二之幾倍而第
　三之幾倍乃或等或大于第四之幾倍即第一與二
　之比例小于第三與四之比例如是等大小相戾者
　但有其一不必再試
　以數明之中設三二四三四幾何先有第一之倍大
　于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍後復有
<pb:KR3f0047_WYG_005-17b>
　　　　　　第一之倍大于第二之倍而第三之倍
　　　　　　乃或等或小于第四之倍即第一與二
　　　　　　之比例大于第三與四也若以上圖之
　　　　　　數反用之以第一為二第二為一第三
　　　　　　為四第四為三則第一與二之比例小
　于第三與四
　第九界
同理之比例至少必三率
<pb:KR3f0047_WYG_005-18a>
　　　　　　同理之比例必兩比例相比如甲與乙
　　　　　　若丙與丁是四率斷比例也若連比例
　　　　　　之戊與己若己與庚則中率己既為戊
　　　　　　之後又為庚之前是以三率當四率也
　第十界
三幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例
　四幾何為同例之連比例則第一與四為三加之比
　例倣此以至無窮
<pb:KR3f0047_WYG_005-18b>
　甲乙丙丁戊五幾何為同理之連比例其甲與乙若
　乙與丙乙與丙若丙與丁丙與丁若丁與戊即一甲
　　　　　　與三丙視一甲與二乙為再加之比例
　　　　　　又一甲與四丁視一甲與二乙為三加
　　　　　　之比例何者甲丁之中有乙丙兩幾何
　為同理之比例如甲與乙故也又一甲與五戊視一
　甲與二乙為四加之比例也若反用之以戊為首則
　一戊與三丙為再加與四乙為三加與五甲為四加
<pb:KR3f0047_WYG_005-19a>
　也
　下第六卷二十題言此直角方形與彼直角方形為
　此形之一邉與彼形之一邉再加之比例何者若作
　三幾何為同理之連比例則此直角方形與彼直角
　方形若第一幾何與第三幾何故也以數明之如此
　直角方形之邉三尺而彼直角方形之邉一尺即此
　形邉與彼形邉若九與一也夫九與一之間有三為
　同理之比例則九三一三幾何之連比例既有三與
<pb:KR3f0047_WYG_005-19b>
　一為比例又以九比三三比一為再加之比例也則
　彼直角方形當為此形九分之一不止為此形三分
　之一也大畧第一與二之比例若線相比第一與三
　若平靣相比第一與四若體相比也(第一與五若筭/家三乘方與六)
　(若四乘方與七若五/乘方倣此以至無窮)
　第十一界
同理之幾何前與前相當後與後相當
　上文己解同理之比例此又解同理之幾何者蓋一
<pb:KR3f0047_WYG_005-20a>
　　　　　　　比例之兩幾何有前後而同理之兩
　　　　　　　比例四幾何有兩前兩後故特解言
　　　　　　　比例之論常以前與前相當後與後
　　　　　　　相當也如上甲與乙丙與丁兩比例
　同理則甲與丙相當乙與丁相當也戊己己庚兩比
　例同理則己既為前又為後兩相當也如下文有兩
　三角形之邉相比亦常以同理之兩邉相當不可混
　也
<pb:KR3f0047_WYG_005-20b>
　上文第六第八界説幾何之幾倍常以一與三同倍
　二與四同倍則以第一第三為兩前第二第四為兩
　後各同理故
　第十二界
有屬理更前與前更後與後
　　　　　　　此下説比例六理皆後論所需也
　　　　　　　四幾何甲與乙之比例若丙與丁今
　更推甲與丙若乙與丁為屬理　下言屬理皆省曰
<pb:KR3f0047_WYG_005-21a>
　更
　此論未證證見本卷十六
　此界之理可施于四率同類之比例若兩線兩靣或
　兩靣兩數等不為同類即不得相更也
　第十三界
有反理取後為前取前為後
　　　　　　甲與乙之比例若丙與丁今反推乙與
　　　　　　甲若丁與丙為反理
<pb:KR3f0047_WYG_005-21b>
　證見本篇四之系
　此界之理亦可施于異類之比例
　第十四界
有合理合前與後為一而比其後
　　　　　甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己今合
　　　　　甲丙為一而比乙丙合丁己為一而比戊
　　　　　己即推甲丙與乙内若丁己與戊己是合
　　　　　兩前後率為兩一率而比兩後率也
<pb:KR3f0047_WYG_005-22a>
　證見本卷十八
　第十五界
有分理取前之較而比其後
　　　　　甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今分
　　　　　推甲乙之較甲丙與丙乙若丁戊之較丁
　　　　　己與己戊
　　　　　證見本卷十七
　
<pb:KR3f0047_WYG_005-22b>
　第十六界
有轉理以前為前以前之較為後
　　　　　甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今轉
　　　　　推甲乙與甲丙若丁戊與丁己
　　　　　證見本卷十九
　
　第十七界
有平理彼此幾何各自三以上相為同理之連比例則
<pb:KR3f0047_WYG_005-23a>
　此之第一與三若彼之第一與三又曰去其中取其
　　　　　　　首尾甲乙丙三幾何丁戊己三幾何
　　　　　　　等數相為同理之連比例者甲與乙
　　　　　　　若丁與戊乙與丙若戊與己也今平
　推首甲與尾丙若首丁與尾己
　平理之分又有二種如後二界
　第十八界
有平理之序者此之前與後若彼之前與後而此之後
<pb:KR3f0047_WYG_005-23b>
　與他率若彼之後與他率
　　　　　　　甲與乙若丁與戊而後乙與他率丙
　　　　　　　若後戊與他率己是序也今平推甲
　　　　　　　與丙若丁與己也(此與十七界同重/宣序義以别後界)
　(也/)
　證見本卷二十二
　第十九界
有平理之錯者此數幾何彼數幾何此之前與後若彼
<pb:KR3f0047_WYG_005-24a>
　之前與後而此之後與他率若彼之他率與其前
　　　　　　　甲乙丙數幾何丁戊己數幾何其甲
　　　　　　　與乙若戊與己又此之後乙與他率
　　　　　　　丙若彼之他率丁與前戊是錯也今
　平推甲與丙若丁與己也(十八十九界推法于十七/界中通論之故兩題中不)
　(再著/也)
　證見本卷二十三
　　増一幾何有一幾何相與為比例即此幾何必有
<pb:KR3f0047_WYG_005-24b>
　　彼幾何相與為比例而兩比例等一幾何有一幾
　　何相與為比例即必有彼幾何與此幾何為比例
　　而兩比例等(比例同理省/曰比例等)
　　　　　　甲幾何與乙幾何為比例即此幾何丙
　　　　　　亦必有彼幾何如丁相與為比例若甲
　　　　　　與乙也丙幾何與丁幾何為比例即必
　　有彼幾何如戊與此幾何丙為比例若丙與丁也
　　此理推廣無礙于理有之不必舉其率也舉率之
<pb:KR3f0047_WYG_005-25a>
　　理備見後卷
　
　
　
　
　
　
　
<pb:KR3f0047_WYG_005-25b>
　
　
　
　
　
　
　
　幾何原本卷五之首
#+PROPERTY: JUAN 卷五
<pb:KR3f0047_WYG_005-26a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷五
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇撰
　第一題
此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍于彼之各率則
　此之并率亦幾倍于彼之并率
　　　　解曰如甲乙丙丁此二幾何大于戊己彼二
　　　　幾何各若干倍題言甲乙丙丁并大于戊己
<pb:KR3f0047_WYG_005-26b>
　　　　并亦若干倍
　　　　論曰如甲乙與丙丁既各三倍大于戊與己
　　　　即以甲乙三分之各與戊等為甲庚庚辛辛
　　　　乙又以丙丁三分之各與己等為丙壬壬癸
　　　　癸丁即甲乙與丙丁所分之數等而甲庚既
　　　　與戊等丙壬既與己等既于甲庚加丙壬于
　戊加己其甲庚丙壬并與戊己并必等依顯庚辛壬
　癸并辛乙癸丁并與戊己并各等夫甲乙與丙丁之
<pb:KR3f0047_WYG_005-27a>
　分三合于戊己皆等(本卷界/説二)則甲乙丙丁并三倍大
　于戊己并
　第二題
六幾何其第一倍第二之數等于第三倍第四之數而
　第五倍第二之數等于第六倍第四之數則第一第
　五并倍第二之數等于第三第六并倍第四之數
　解曰一甲乙倍二丙之數如三丁戊倍四己之數又
　五乙庚倍二丙之數如六戊辛倍四己之數題言一
<pb:KR3f0047_WYG_005-27b>
　　　　　　甲乙五乙庚并倍二丙之數若三丁戊六
　　　　　　戊辛并倍四己之數
　　　　　　論曰甲乙丁戊之倍于丙己其數等則甲
　　　　　　乙幾何内有丙幾何若干與丁戊幾何内
　有己幾何若干其數亦等(本卷界/説二)依顯乙庚丙有丙
　若干與戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊兩等
　數率每加一等數之乙庚戊辛率則甲庚丁辛兩幾
　何内之分數等而一五并之甲庚内有二丙若干與
<pb:KR3f0047_WYG_005-28a>
　三六并之丁辛内有四己若干亦等
　　注曰若第一第三兩幾何之數與第二第四兩幾
　　何之數各等而第五倍第二之數等于第六倍第
　　四之數或第一倍第二之數等于第三倍第四之
　　數而第五第二兩幾何之數與第六第四兩幾何
　　　　　　　　　　之數各等俱同本論如上二
　　　　　　　　　　圖甲庚為第一第五之并率
　　　　　　　　　　其倍二丙之數與丁辛為第
<pb:KR3f0047_WYG_005-28b>
　　三第六之并率其倍四己之數等也(甲庚内有丙/若干與丁辛)
　　(内有己若干/等故同理)他若第一第三兩幾何之數第五第
　　六兩幾何之數與第二第四兩幾何之數各等此
　　理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六
　　并之倍第四俱兩倍故
　第三題
四幾何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍
　第一又倍第三其數等則第一所倍之與第二若第
<pb:KR3f0047_WYG_005-29a>
　三所倍之與第四
　　　　　　解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于
　　　　　　四丁次作戊己兩幾何同若干倍于甲
　　　　　　于丙題言以平理推戊倍乙之數若己倍丁
　　　　　　論曰戊與己之倍甲與丙其數既等試
　　　　　　以戊作若干分各與甲等為戊庚庚辛
　　　　　　辛壬次分己亦如之為己癸癸子子丑
　　　　　　即戊内有甲若干與己内有丙若干等
<pb:KR3f0047_WYG_005-29b>
　(本卷界/説二)夫戊庚與甲己癸與丙既等而甲之倍乙與
　丙之倍丁又等則戊庚倍乙若己癸倍丁也依顯庚
　辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫
　一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛
　之倍二乙亦若六癸子之倍四丁則一戊庚五庚辛
　并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也(本篇/二)
　又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛
　壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁則一戊辛五辛
<pb:KR3f0047_WYG_005-30a>
　壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛
　壬子丑以上任作多分皆倣此論
　第四題(其系爲反理/)
四幾何其第一與二偕第三與四比例等第一第三同
　任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍
　與第二所倍第三所倍與第四所倍比例亦等
　觧曰甲與乙偕丙與丁比例等次作戊與己同任若
　干倍于一甲三丙别作庚與辛同任若干倍于二乙
<pb:KR3f0047_WYG_005-30b>
　　　　　　　　　　　　　　　四丁題言一甲
　　　　　　　　　　　　　　　所倍之戊與二
　　　　　　　　　　　　　　　乙所倍之庚偕
　　　　　　　　　　　　　　　三丙所倍之己
　　　　　　　　　　　　　　　與四丁所倍之
　　　　　　　　　　　　　　　辛比例亦等
　論曰試以戊己二㡬何同任倍之為壬為癸别以庚
　辛同任倍之為子為丑其戊之倍甲既若己之倍丙
<pb:KR3f0047_WYG_005-31a>
　而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之
　倍丙也(本篇/三)依顯子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲
　與乙偕丙與丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子
　丑所倍于乙丁各等即三試之若倍甲之壬小于倍
　乙之子則倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等
　即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣(本卷/界説)
　(六/)夫戊己之倍為壬癸也庚辛之倍為子丑也不論
　㡬許倍其等大小三試之恒如是也則一戊所倍之
<pb:KR3f0047_WYG_005-31b>
　壬與二庚所倍之子偕三己所倍之癸與四辛所倍
　之丑等大小皆同類也而戊與庚偕己與辛之比例
　必等(本卷界/説六)
　一系凡四㡬何第一與二偕第三與四比例等即可
　反推第二與一偕第四與三比例亦等何者如上倍
　甲之壬與倍乙之子偕倍丙之癸與倍丁之丑等大
　小俱同類而顯甲與乙若丙與丁即可反説倍乙之
　子與倍甲之壬偕倍丁之丑與倍丙之癸等大小俱
<pb:KR3f0047_WYG_005-32a>
　同類而乙與甲亦若丁與丙(本卷界/説六)
　二系别有一論亦本書中所恒用也曰若甲與乙偕
　兩與丁比例等則甲之或二或三倍與乙之或二或
　三倍偕丙之或二或三倍與丁之或二或三倍比例
　俱等倣此以至無窮
　第五題
大小兩㡬何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍
　于彼全截取之分則此全之分餘所倍于彼全之分
<pb:KR3f0047_WYG_005-32b>
　餘亦如之
　　　　　解曰甲乙大㡬何丙丁小㡬何甲乙所倍
　　　　　于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁
　　　　　之截分丙己題言甲戊之分餘戊乙所倍
　　　　　于丙巳之分餘巳丁亦如其數
　論曰試作一他㡬何為庚丙今戊巳之倍庚丙若甲
　戊之倍丙巳也(本卷界/説増)甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其
　數等即其兩并甲乙之倍庚巳亦若(甲/)戊之倍丙巳
<pb:KR3f0047_WYG_005-33a>
　　　　　也(本篇/一)而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍
　　　　　丙己則丙丁與庚己等也次毎減同用之
　　　　　丙巳即庚丙與巳丁亦等而戊乙之倍巳
　　　　　丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚
　　　　　丙既若甲戊之倍丙己則戊乙為甲戊之
　　　　　分餘所倍于巳丁為丙巳之分餘者亦若
　　　　　甲乙之倍丙丁也
　　　　　又論曰試作一他㡬何為庚甲令庚甲之
<pb:KR3f0047_WYG_005-33b>
　倍己丁若甲戊之倍丙巳(本説界/説二十)即其兩并庚戊之
　倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也(本篇/一)而甲乙之倍丙
　丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊與甲乙等矣次毎減
　同用之甲戊即庚甲與戊乙等也而庚甲之倍己丁
　若甲乙之倍丙丁也則戊乙之倍巳丁亦若甲乙之
　倍丙丁也
　第六題
此兩㡬何各倍于彼兩㡬何其數等于此兩㡬何毎減
<pb:KR3f0047_WYG_005-34a>
　一分其一分之各倍于所當彼㡬何其數等則其分
　餘或各與彼㡬何等或尚各倍于彼㡬何其數亦等
　　　　　觧曰甲乙丙丁兩㡬何各倍于戊巳兩㡬
　　　　　何其數等毎減一甲庚丙辛甲庚丙辛之
　　　　　倍戊巳其數等題言分餘庚乙辛丁或與
　戊巳等或尚各倍于戊巳其數亦等
　論曰甲乙全與其分甲庚既各多倍于戊則分餘庚
　乙與戊其或等或尚㡬倍必矣何者庚乙與戊不等
<pb:KR3f0047_WYG_005-34b>
　　　　　不㡬倍其加于甲庚不成為戊之多倍也
　　　　　然則庚乙與戊等曷為辛丁與巳亦等試
　　　　　作壬丙與己等其一甲庚之倍二戊既若
　三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙
　　　　　之等四巳則第一第五并之甲乙所倍于
　　　　　二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳
　　　　　也(本篇/二)而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己
　　　　　即壬辛與丙丁亦等次毎減同用之丙辛
<pb:KR3f0047_WYG_005-35a>
　即壬丙與辛丁必等是辛丁與己亦等矣然則庚乙
　之倍戊曷為與辛丁之倍己等試作壬丙其倍己若
　庚乙之倍戊依前論甲乙之倍戊若壬辛之倍己(本/篇)
　(二/)而壬辛與丙丁等壬丙與辛丁亦等是辛丁之倍
　己亦若庚乙之倍戊矣
　第七題(二/支)
此兩幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與
　此相等之兩幾何各為比例亦等
<pb:KR3f0047_WYG_005-35b>
　　　　　解曰甲乙兩幾何等彼幾何丙不論等大
　　　　　小于甲乙題言甲與丙偕乙與丙各為比
　　　　　例必等又反上言丙與甲偕丙與乙各為
　　　　　比例亦等
　　　　　論曰試作丁戊兩率任同若干倍于甲乙
　　　　　即丁與戊等别作己任若干倍于丙其丁
　　　　　戊既等即丁視己與戊視己或等或大或
　　　　　小必同類矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕
<pb:KR3f0047_WYG_005-36a>
　當二又當四之丙所倍之己其等大小既同類(本卷/界説)
　(六/)則一甲與二丙之比例若三乙與四丙矣反説之
　當一當三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊
　其等大小既同類則一丙與二甲之比例若三丙與
　四乙矣
　後論與本篇第四題之系同用反理如甲與丙若乙
　與丙反推之丙與甲亦若丙與乙也
　第八題
<pb:KR3f0047_WYG_005-36b>
大小兩幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大
　于小與他之比例而他與小之比例大于他與大之比例
　　　　　解曰不等兩幾何甲乙大丙小又有他幾
　　　　　何丁不論等大小于甲乙于丙題言甲乙
　　　　　與丁之比例大于丙與丁之比例又反上
　　　　　言丁與丙之比例大于丁與甲乙之比例
　論曰試于大幾何甲乙内分甲戊與小幾何丙等而
　戊乙為分餘次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚
<pb:KR3f0047_WYG_005-37a>
　己而庚己為戊乙之倍必令大于丁辛庚為甲戊之
　　　　　倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加
　　　　　之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等
　　　　　即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣(本/篇)
　　　　　(一/)甲戊即丙也次作一壬癸為丁之倍令
　僅大于辛庚兩倍不足三之又不足任加之己大勿
　倍也次于壬癸截取子癸與丁等即壬子必不大于
　辛庚何者向作壬癸為丁之倍元令僅大于辛庚若
<pb:KR3f0047_WYG_005-37b>
　壬子大于辛庚者何必又倍之為壬癸也故僅大之
　壬癸截去子癸者必不大于辛庚也則壬子或等或
　小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸與丁等即庚
　己必大于子癸又辛庚不小于壬子(或大/或等)即辛己亦
　大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第
　三丙也而壬癸之倍于當二之丁當四之丁又同一
　率也則第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而
　第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸(辛庚元/小于壬)
<pb:KR3f0047_WYG_005-38a>
　(癸/)是一甲乙與二丁之比例大于三丙與四丁矣(本/卷)
　(界説/八)次反上説一丁所倍之壬癸(反説則丁當一當/三丙二甲乙四)
　大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于
　四甲乙所倍之辛己(壬癸必小/于辛己)是一丁與二丙之比
　例大于三丁與四甲乙矣(本卷界/説八)
　第九題(二支/)
兩幾何與一幾何各為比例而等則兩幾何必等一幾
　何與兩幾何各為比例而等則兩幾何亦等
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　　　先解曰甲乙兩幾何各與丙為比例等題言甲
　　　與乙等
　　　論曰如云不然而甲大于乙即甲與丙之比例
　宜大于乙與丙(本篇/八)何先設兩比例等也故比例等
　則甲與乙等
　後解曰丙幾何與甲與乙各為比例等題言甲與乙等
　論曰如云不然而甲大于乙即丙與乙之比例宜大
　于丙與甲(本篇/八)何先設兩比例等也
<pb:KR3f0047_WYG_005-39a>
　第十題(二/支)
彼此兩幾何此幾何與他幾何之比例大于彼與他之
　比例則此幾何大于彼他幾何與彼幾何之比例大
　于他與此之比例則彼幾何小于此
　　　先解曰甲乙兩幾何復有丙幾何甲與丙之比
　　　例大于乙與丙題言甲大于乙
　　　論曰如云不然甲與乙等即所為兩比例宜等
　(本篇/七)何先設甲與丙大也又不然甲小于乙即乙與
<pb:KR3f0047_WYG_005-39b>
　丙之比例宜大于甲與丙(本篇/八)何先設甲與丙大也
　後解曰丙與乙之比例大于丙與甲題言乙小于甲
　　　論曰如云不然乙與甲等即所為兩比例宜等
　　　(本篇/七)何先設丙與乙大也又不然乙大于甲即
　　　丙與甲之比例宜大于丙與乙何先設丙與乙
　大也
　第十一題
此兩幾何之比例與他兩幾何之比例等而彼兩幾何
<pb:KR3f0047_WYG_005-40a>
　之比例與他兩幾何之比例亦等則彼兩幾何之比
　例與此兩幾何之比例亦等
　　　　　解曰甲乙偕丙丁之比例各與戊己之比
　　　　　例等題言甲乙與丙丁之比例亦等
　　　　　論曰試于各前率之甲丙戊同任倍之為
　　　　　庚辛壬别于各後率之乙丁己同任倍之
　　　　　為癸子丑其一甲與二乙之比例既若三
　　　　　戊與四己即三試之若倍一甲之庚小于
<pb:KR3f0047_WYG_005-40b>
　　　　　倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四
　　　　　己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大
　　　　　于癸即壬亦大于丑矣(本卷界/説六)依顯壬之
　視丑若辛之視子其等大小亦同類矣此三前三後
　率任作幾許倍其等大小皆同類也(本卷界/説六)則甲與
　乙之比例若丙與丁也
　第十二題
數幾何所為比例皆等則并前率與并後率之比例若
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　各前率與各後率之比例
　解曰甲乙丙丁戊己數幾何所為比例皆等者甲與
　　　　　乙若丙與丁丙與丁若戊與己也題言甲
　　　　　丙戊諸前率并與乙丁己諸後率并之比
　　　　　例若甲與乙丙與丁戊與己各前各後之
　　　　　比例也
　　　　　論曰試于各前率之甲丙戊同任倍之為
　　　　　庚辛壬别于各後率之乙丁己同任倍之
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　　　　　為癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若
　　　　　庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若
　　　　　癸之倍乙也(本篇/一)夫一甲與二乙既若三
　丙與四丁又若三戊與四己則庚之倍一甲與癸之
　倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊與子五
　之倍四丁己等大小同類也又各前所倍庚辛壬并
　與各後所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前
　所自倍與各後所自倍其等大小必同類也(本卷界/説六)
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　則一甲與二乙之比例若三甲丙戊并與四乙丁己
　并矣
　第十三題
數幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第三
　與四之比例大于第五與六之比例則第一與二之
　比例亦大于第五與六之比例
　解曰一甲與二乙之比例若三丙與四丁而三丙與
　四丁之比例大于五戊與六己題言甲與乙之比例
<pb:KR3f0047_WYG_005-42b>
　　　　　亦大于戊與己
　　　　　論曰試以甲丙戊各前率同任倍之為庚
　　　　　辛壬别以乙丁己各後率同任倍之為癸
　　　　　子丑其甲與乙既若丙與丁即三試之若
　　　　　倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必
　　　　　大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等
　　　　　若庚小于癸即辛亦小于子矣(本卷界/説六)次
　　　　　丙與丁既大于戊與己又三試之即倍丙
<pb:KR3f0047_WYG_005-43a>
　之辛大于倍丁之子而倍戊之壬不必大于倍己之
　丑也或等或小矣(本卷界/説八)夫庚癸與辛子等大小同
　類則壬丑不類于辛子者亦不類于庚癸也故甲與
　乙之比例亦大于戊與己(本卷界/説八)
　　注曰若三丙與四丁之比例或小或等于五戊六
　　己則一甲與二乙之比例亦小亦等于五戊六己
　　依此論推顯
　第十四題
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四幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第一
　幾何大于第三則第二幾何亦大于第四第一或等
　或小于第三則第二亦等亦小于第四
　　　　　解曰甲與乙之比例若丙與丁題言甲大
　　　　　于丙則乙亦大于丁若等亦等若小亦小
　　　　　先論曰如甲大于丙即甲與乙之比例大
　于丙與乙矣(本篇/八)夫一丙與二丁之比例既若三甲
　與四乙而三甲與四乙之比例大于五丙與六乙即
<pb:KR3f0047_WYG_005-44a>
　一丙與二丁之比例亦大于五丙與六乙(本篇/十三)是丁
　　　　　幾何小于乙也(本篇/十一)
　　　　　次論曰如甲丙等即甲與乙之比例若丙
　　　　　與乙(本篇/七)夫甲與乙之比例元若丙與丁
　而又若丙與乙是丙與丁之比例亦若丙與乙也(本/篇)
　(十/一)則乙與丁等也(本篇/九)
　後論曰如甲小于丙即丙與乙之比例大于甲與乙
　矣(本篇/八)夫一丙與二丁之比例既若三甲與四乙而
<pb:KR3f0047_WYG_005-44b>
　　　　　三甲與四乙之比例小于五丙與六乙即
　　　　　一丙與二丁之比例亦小于五丙與六乙
　　　　　也(本篇/十三)是乙小于丁也(本篇/十)
　第十五題
兩分之比例與兩多分并之比例等
　解曰甲與乙同任倍之為丙丁為戊己題言丙丁與
　戊己之比例若甲與乙
　論曰丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲
<pb:KR3f0047_WYG_005-45a>
　　　若干與戊己内有乙若干等次分丙丁為丙庚
　　　庚辛辛丁各與甲分等分戊己為戊壬壬癸癸
　　　己各與乙分等即丙庚與戊壬若甲與乙也(丙/庚)
　　　(與甲等戊壬與乙/等故見本篇七)庚辛與壬癸辛丁與癸己皆
　　　若甲與乙也(本篇/十一)則等甲之丙庚與等乙之戊
　壬定若丙丁全與戊己全而丙丁全與戊己全若甲
　與乙矣(本篇/十二)
　第十六題(更/理)
<pb:KR3f0047_WYG_005-45b>
四幾何為兩比例等即更推前與前後與後為比例亦等
　　　　　解曰甲乙丙丁四幾何甲與乙之比例若
　　　　　丙與丁題言更推之甲與丙之比例亦若
　　　　　乙與丁
　　　　　論曰試以甲與乙之任倍之為戊為己别
　　　　　以丙與丁同任倍之為庚為辛即戊與己
　　　　　若甲與乙也(本篇/十五)庚與辛若丙與丁也夫
　甲與乙若丙與丁而戊與己亦若甲與乙即戊與己
<pb:KR3f0047_WYG_005-46a>
　亦若丙與丁矣依顯庚與辛若丙與丁即戊與己亦
　若庚與辛也(本篇/十一)次三試之若戊大于庚則己亦大
　于辛也若等亦等若小亦小任作幾許倍恒如是也
　(本篇/十四)則倍一甲之戊倍三乙之己與倍二丙之庚倍
　四丁之辛其等大小必同類也而甲與丙若乙與丁
　矣
　第十七題(分/理)
相合之兩幾何為比例等則分之為比例亦等
<pb:KR3f0047_WYG_005-46b>
　　　　　解曰相合之兩幾何其一為甲乙丁乙其
　　　　　一為丙戊己戊比例等者甲乙與丁乙若
　　　　　丙戊與己戊也題言分之為比例亦等者
　　　　　甲丁與丁乙若丙己與己戊也
　　　　　論曰試以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之
　　　　　為庚辛辛壬為癸子子丑即庚壬之倍甲
　乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也(本篇/一)
　夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍
<pb:KR3f0047_WYG_005-47a>
　甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次别以丁乙己戊同任
　倍之為壬寅為丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三
　子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑
　卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己
　戊也(本篇/二)夫一甲乙與二丁乙之比例既若三丙戊
　與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試之若
　一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三
　丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若
<pb:KR3f0047_WYG_005-47b>
　　　　　等亦等若小亦小也(本卷界/説六)如庚壬小于
　　　　　辛寅而癸丑小于子卯者即每減一同用
　　　　　之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而
　　　　　癸子亦小于丑卯矣依顯庚壬等辛寅而
　　　　　癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等
　　　　　丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯
　者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛為
　甲丁之倍癸子為丙己之倍壬寅為丁乙之倍丑卯
<pb:KR3f0047_WYG_005-48a>
　為己戊之倍而甲丁丙己之所倍視丁乙己戊之所
　倍其等大小皆同類則甲丁與丁乙若丙己與己戊
　也(本卷界/説六)
　第十八題(合理/)
兩幾何分之為比例等則合之為比例亦等
　　　　　　解曰甲丁丁乙與丙己己戊兩分幾何其
　　　　　　比例等者甲丁與丁乙若丙己與己戊是
　　　　　　也題言合之為比例亦等者甲乙與丁乙
<pb:KR3f0047_WYG_005-48b>
　　　　　　若丙戊與己戊也
　　　　　　論曰如前論以甲丁丁乙丙己己戊同任
　　　　　　倍之為庚辛辛壬為癸子子丑(本篇/二)次别
　　以丁乙己戊同任倍之為壬寅為丑卯即庚壬之倍
　　甲乙若癸丑之倍丙戊也(本篇/一)而辛寅之倍丁乙若
　　子卯之倍乙戊也(本篇/二)夫一甲丁與二丁乙既若三
　　丙己與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試
　　之若一甲丁所倍之庚辛小於二丁乙所倍之壬寅
<pb:KR3f0047_WYG_005-49a>
　　　　　即三丙己所倍之癸子亦小於四己戊所
　　　　　倍之丑卯也若等亦等若大亦大也(本卷/界説)
　　　　　(六/)如庚辛小於壬寅而癸子亦小於丑卯
　　　　　即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小於
　　　　　辛寅而癸丑亦小於子卯矣依顯庚辛等
　　　　　壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸
　丑等子卯矣庚辛大於壬寅而癸子大於丑卯即庚
　壬大於辛寅而癸丑大於子卯矣夫一甲乙所倍之
<pb:KR3f0047_WYG_005-49b>
　庚壬與二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑
　與四己戊所倍之子卯其等大小皆同類則甲乙與
　丁乙若丙戊與己戊也(本卷界/説六)
　第十九題(其系為轉理/)
兩幾何各截取一分其所截取之比例與兩全之比例
　等則分餘之比例與兩全之比例亦等
　解曰甲乙丙丁兩幾何其甲乙全與丙丁全之比例
　若截取之甲戊與丙己題言分餘戊乙與己丁之比
<pb:KR3f0047_WYG_005-50a>
　　　例亦若甲乙與丙丁
　　　論曰甲乙與丙丁既若甲戊與丙己試更之甲
　　　乙與甲戊若丙丁與丙己也(本篇/十六)次分之戊乙
　　　與甲戊若己丁與丙己也(本篇/十七)又更之戊乙與
　　　己丁若甲戊與丙己也(本篇/十六)夫甲戊與丙己元
　　　若甲乙與丙丁則戊乙與己丁亦若甲乙與丙
　丁矣
　一系從此題可推界説第十六之轉理如上甲乙與
<pb:KR3f0047_WYG_005-50b>
　戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與
　丙己也何者甲乙與戊乙既若丙丁與己丁試更之
　甲乙與丙丁若截取之戊乙與己丁也(本篇/十六)即甲乙
　全與丙丁全又若分餘之甲戊與丙己矣(本/題)又更之
　則甲乙與甲戊若丙丁與丙己也(本篇/十六)此轉理也
　　注曰凡更理可施於同類之比例不可施於異類
　　若轉理不論同異類皆可用也依此系即轉理亦
　　頼更理為用似亦不可施於異類矣今别作一論
<pb:KR3f0047_WYG_005-51a>
　　不頼更理以為轉理明轉理可施於異類也
　　　　論曰甲乙與丙乙若丁戊與己戊即轉推甲
　　　　乙與甲丙若丁戊與丁己何者甲乙與丙乙既
　　　　若丁戊與己戊試分之甲丙與丙乙若丁己與
　　己戊也(本篇/十七)次反之丙乙與甲丙若己戊與丁己也
　　(本篇/四)次合之甲乙與甲丙若丁戊與丁己也(本篇/十八)
　第二十題(三支/)
有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大於
<pb:KR3f0047_WYG_005-51b>
　第三則第四亦大於第六第一或等或小於第三則
　第四亦等亦小於第六
　　　　　先解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何其
　　　　　甲與乙之比例若丁與戊乙與丙之比例
　　　　　若戊與己而甲大於丙題言丁亦大於己
　　　　　論曰甲既大於丙即甲與乙之比例大於
　丙與乙矣(本篇/八)而甲與乙之比例若丁與戊即丁與
　戊之比例亦大於丙與乙矣(本篇/十三)又丙與乙之比例
<pb:KR3f0047_WYG_005-52a>
　若己與戊(乙與丙若戊與己反之/則丙與乙若己與戊)即丁與戊之比例
　大於己與戊矣是丁大於己也(本篇/十)
　　　　　次解曰若甲丙等題言丁己亦等
　　　　　論曰甲丙既等即甲與乙之比例若丙與
　　　　　乙矣(本篇/七)而甲與乙之比例若丁與戊即
　　　　　丁與戊之比例亦若丙與乙矣(本篇/十一)又丙
　與乙之比例若己與戊(反/理)即丁與戊之比例亦若己
　與戊矣是丁己等也(本篇/九)
<pb:KR3f0047_WYG_005-52b>
　　　　　後解曰若甲小於丙題言丁亦小於己
　　　　　論曰甲既小於丙即甲與乙之比例小於
　　　　　丙與乙矣(本篇/八)而甲與乙之比例若丁與
　　　　　戊即丁與戊之比例亦小於丙與乙矣又
　丙與乙之比例若己與戊(反/理)即丁與戊之比例小於
　己於戊矣是丁小於己也(本篇/十)
　第二十一題(三支/)
有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之
<pb:KR3f0047_WYG_005-53a>
　若第一幾何大于第三則第四亦大于第六若第一
　或等或小于第三則第四亦等亦小于第六
　　　　　解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何相為
　　　　　連比例不序不序者甲與乙若戊與己乙
　　　　　與丙若丁與戊也以平理推之若甲大于
　丙題言丁亦大于己
　論曰甲既大于丙即甲與乙之比例大于丙與乙(本/篇)
　(八/)而甲與乙若戊與己即戊與己之比例亦大于丙
<pb:KR3f0047_WYG_005-53b>
　與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若
　戊與丁也(本篇/四)則戊與己大于戊與丁也是丁大于己也
　(本篇/二十)
　　　　　次解曰若甲丙等題言丁己亦等
　　　　　論曰甲丙既等即甲與乙之比例若丙與
　　　　　乙(本篇/七)而甲與乙若戊與己即丙與乙之
　比例亦若戊與己也又乙與丙既若丁與戊反之即
　丙與乙亦若戊與丁也(本篇/四)則戊與己若戊與丁也
<pb:KR3f0047_WYG_005-54a>
　是丁己等也(本篇/九)
　　　　　後解曰若甲小于丙題言丁亦小于己
　　　　　論曰甲既小于丙即甲與乙之比例小于
　　　　　丙與乙(本篇/八)而甲與乙若戊與己即戊與
　己之比例小于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反
　之即丙與乙若戊與丁(本篇/四)則戊與己小于戊與丁
　也是丁小于己也(本篇/十)
　第二十二題(平理之序/)
<pb:KR3f0047_WYG_005-54b>
有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以
　平理推
　　　　　　　　　　解曰有若干幾何甲乙丙又
　　　　　　　　　　有若干幾何丁戊己而甲與
　　　　　　　　　　乙之比例若丁與戊乙與丙
　　　　　　　　　　之比例若戊與己題言以平
　　　　　　　　　　理推之甲與丙之比例若丁
　與己
<pb:KR3f0047_WYG_005-55a>
　論曰試以甲與丁同任倍之為庚為辛别以乙與戊
　同任倍之為壬為癸别以丙與己同任倍之為子為
　丑其一甲與二乙既若三丁與四戊即倍甲之庚與
　　　　　　　　　　倍乙之壬若倍丁之辛與倍
　　　　　　　　　　戊之癸也(本篇/四)依顯一乙與
　　　　　　　　　　二丙既若三戊與四己即倍
　　　　　　　　　　乙之壬與倍丙之子若倍戊
　　　　　　　　　　之癸與倍己之丑也是庚壬
<pb:KR3f0047_WYG_005-55b>
　子三幾何辛癸丑三幾何又相為連比例矣次三試
　之若庚大于子即辛必大于丑也(本篇/二十)若等亦等者
　小亦小也則倍一甲之庚倍三丁之辛與倍二丙之
　子倍四己之丑等大小皆同類也是甲與丙若丁與
　己也(本卷界/説六)其幾何自三以上如更有丙與寅若己
　與卯亦依顯甲與寅若丁與卯也何者上既顯甲與
　丙若丁與己而今稱丙與寅若己與卯即以甲丙寅
　作三幾何以丁己卯作又三幾何相為連比例依上
<pb:KR3f0047_WYG_005-56a>
　推論亦得甲與寅之比例若丁與卯也自四以上可
　至無窮依此推顯
　第二十三題(平理/之錯)
若干幾何又若干幾何相為連比例而錯亦以平理推
　　　　　　　　　　解曰甲乙丙若干幾何丁戊
　　　　　　　　　　己若干幾何相為連比例而
　　　　　　　　　　錯者甲與乙若戊與己乙與
　　　　　　　　　　丙若丁與戊也題言以平理
<pb:KR3f0047_WYG_005-56b>
　推之甲與丙之比例亦若丁與己
　論曰試以甲乙丁同任倍之為庚辛壬别以丙戊己
　同任倍之為癸子丑即甲與乙若所自倍之庚與辛
　　　　　　　　　　(本篇/十五)而甲與乙既若戊與己
　　　　　　　　　　即庚與辛亦若戊與己(本篇/十一)
　　　　　　　　　　戊與己又若所自倍之子與
　　　　　　　　　　丑即庚與辛亦若子與丑(本/篇)
　(十/一)依顯一乙與二丙既若三丁與四戊即倍一乙之
<pb:KR3f0047_WYG_005-57a>
　辛與倍二丙之癸若倍三丁之壬與倍四戊之子也
　(本篇/四)是庚辛癸三幾何壬子丑三幾何又相為連比
　例而錯矣次三試之若庚大于癸即壬亦大于丑若
　等亦等若小亦小(本篇/廿一)則一甲三丁所倍之庚壬與
　二丙四己所倍之癸丑等大小皆同類也是一甲與
　二丙若三丁與四己(本卷界/說六)如三以上既有甲與乙
　若己與卯乙與丙若戊與己又有丙與寅若丁與戊
　亦顯甲與寅若丁與卯何者依上論先顯甲與丙若
<pb:KR3f0047_WYG_005-57b>
　戊與卯次丙與寅又若丁與戊即以甲丙寅作三幾
　何丁戊卯作又三幾何相為連比例而錯依上論亦
　得甲與寅若丁與卯四以上悉依此推顯
　第二十四題
凡第一與二幾何之比例若第三與四幾何之比例而
　第五與二之比例若第六與四則第一第五并與二
　之比例若第三第六并與四
　解曰一甲乙與二丙之比例若三丁戊與四己而五
<pb:KR3f0047_WYG_005-58a>
　　　乙庚與二丙若六戊辛與四己題言一甲乙五
　　　乙庚并與二丙若三丁戊六戊辛并與四己
　　　論曰乙庚與丙既若戊辛與己反之丙與乙庚
　　　若己與戊辛也(本篇/四)又甲乙與丙既若丁戊與
　己而丙與乙庚亦若己與戊辛平之甲乙與乙庚若
　丁戊與戊辛也(本篇/廿二)又合之甲庚全與乙庚若丁辛
　全與戊辛也(本篇/十八)夫甲庚與乙庚既若丁辛與戊辛
　而乙庚與丙亦若戊辛與己平之甲庚與丙若丁辛
<pb:KR3f0047_WYG_005-58b>
　與己矣(本篇/廿二)
　　注曰依本題論可推廣第六題之義作後増題(第/六)
　　(題言幾倍後增題不/止言倍其義稍廣矣)
　　増題此兩幾何與彼兩幾何比例等于此兩幾何
　　每截取一分其截取兩幾何與彼兩幾何比例等
　　則分餘兩幾何與彼兩幾何比例亦等
　　解曰如上圗甲庚丁辛此兩幾何與丙己彼兩幾
　　何比例等者甲庚與丙若丁辛與己也題言截取
<pb:KR3f0047_WYG_005-59a>
　　之甲乙與丙若丁戊與己則分餘之乙庚與丙亦
　　若戊辛與己
　　論曰甲乙與丙既若丁戊與己即反之丙與甲乙
　　若己與丁戊也(本篇/四)又甲庚與丙既若丁辛與己
　　　　而丙與甲乙亦若己與丁戊即平之甲庚與
　　　　甲乙若丁辛與丁戊也(本篇/廿二)又分之乙庚與
　　　　甲乙若戊辛與丁戊也(本篇/十七)夫乙庚與甲乙
　　　　既若戊辛與丁戊而甲乙與丙若丁戊與己
<pb:KR3f0047_WYG_005-59b>
　　即平之若戊辛與己也(本篇/廿三)
　第二十五題
四幾何為斷比例則最大與最小兩幾何并大于餘兩
　幾何并
　解曰甲乙與丙丁之比例若戊與己甲乙最大己最
　小題言甲乙己并大于丙丁戊并
　論曰試于甲乙截取甲庚與戊等于丙丁截取丙辛
　與己等即甲庚與丙辛之比例若戊與己也亦若甲
<pb:KR3f0047_WYG_005-60a>
　　　乙與丙丁也夫甲乙全與丙丁全既若截取之
　　　甲庚與丙辛即亦若分餘之庚乙與辛丁也(本/篇)
　　　(十/九)而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛
　　　丁矣又甲庚與戊丙辛與己既等即于戊加丙
　辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁則甲
　乙己并豈不大于丙丁戊并
　第二十六題
第一與二幾何之比例大于第三與四之比例反之則
<pb:KR3f0047_WYG_005-60b>
　第二與一之比例小于第四與三之比例
　　　　解曰一甲與二乙之比例大于三丙與四丁
　　　　題言反之二乙與一甲之比例小于四丁與
　　　　三丙
　　　　論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與
　乙之比例大于戊與乙而甲幾何大于戊(本篇/十)則乙
　與戊之比例大于乙與甲也(本篇/八)反之則乙與戊之
　比例若丁與丙(本篇/四)而乙與甲之比例小于丁與丙
<pb:KR3f0047_WYG_005-61a>
　第二十七題
第一與二之比例大于第三與四之比例更之則第一
　與三之比例亦大于第二與四之比例
　　　解曰一甲與二乙之比例大于三丙與四丁題
　　　言更之則一甲與三丙之比例亦大于二乙與
　　　四丁
　　　論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與乙
　之比例大于戊與乙而甲㡬何大于戊(本篇/十)則甲與
<pb:KR3f0047_WYG_005-61b>
　丙之比例大于戊與丙也(本篇/八)夫戊與乙之比例既
　若丙與丁更之則戊與丙之比例亦若乙與丁(本篇/十六)
　而甲與丙之比例大于乙與丁矣
　第二十八題
第一與二之比例大于第三與四之比例合之則第一
　第二并與二之比例亦大于第三第四并與四之比
　例
　解曰一甲乙與二乙丙之比例大于三丁戊與四戊
<pb:KR3f0047_WYG_005-62a>
　　　　己題言合之則甲丙與乙丙之比例亦大于
　　　　丁己與戊己
　　　　論曰試作庚乙與乙丙之比例若丁戊與戊
　己即甲乙與乙丙之比例大于庚乙與乙丙而甲乙
　幾何大于庚乙矣(本篇/十)此二率者每加一乙丙即甲
　丙亦大于庚丙而甲丙與乙丙之比例大于庚丙與
　乙丙也(本篇/八)夫庚乙與乙丙之比例既若丁戊與戊
　己合之則庚丙與乙丙之比例亦若丁己與戊己也
<pb:KR3f0047_WYG_005-62b>
　(本篇/十八)而甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己矣
　第二十九題
第一合第二與二之比例大于第三合第四與四之比例
　分之則第一與二之比例亦大于第三與四之比例
　　　　解曰甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己
　　　　題言分之則甲乙與乙丙之比例亦大于丁
　　　　戊與戊己
　　　　論曰試作庚丙與乙丙之比例若丁己與戊
<pb:KR3f0047_WYG_005-63a>
　己即甲丙與乙丙之比例亦大于庚丙與乙丙而甲
　丙幾何大于庚丙矣(本篇/十)此二率者每減一同用之
　乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙與乙丙之比例大
　　　　于庚乙與乙丙也(本篇/八)夫庚丙與乙丙之比
　　　　例既若丁己與戊己分之則庚乙與乙丙之
　　　　比例亦若丁戊與戊己也(本篇/十七)而甲乙與乙
　　　　丙之比例大于丁戊與戊己矣
　第三十題
<pb:KR3f0047_WYG_005-63b>
第一合第二與二之比例大于第三合第四與四之比
　例轉之則第一合第二與一之比例小于第三合第
　四與三之比例
　解曰甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己題言轉
　之則甲丙與甲乙之比例小于丁己與丁戊
　　　論曰甲丙與乙丙之比例既大于丁己與戊己
　　　分之即甲乙與乙丙之比例亦大于丁戊與戊
　　　己也(本篇/廿九)又反之乙丙與甲乙之比例小于戊
<pb:KR3f0047_WYG_005-64a>
　己與丁戊矣(本篇/廿六)又合之甲丙與甲乙之比例亦小
　于丁己與丁戊也(本篇/廿八)
　第三十一題
此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第
　一與二之比例此第二與三之比例大于彼第二
　與三之比例如是序者以平理推則此第一與三之
　比例亦大于彼第一與三之比例
　解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙
<pb:KR3f0047_WYG_005-64b>
　　　　　之比例大于丁與戊乙與丙之比例大于
　　　　　戊與己如是序者題言以平理推則甲與
　　　　　丙之比例亦大于丁與己
　　　　　論曰試作庚與丙之比例若戊與己即乙
　　　　　與丙之比例大于庚與丙而乙幾何大于
　　　　　庚(本篇/十)是甲與小庚之比例大于甲與大
　乙矣(本篇/八)夫甲與乙之比例元大于丁與戊即甲與
　庚之比例更大于丁與戊也次作辛與庚之比例若
<pb:KR3f0047_WYG_005-65a>
　丁與戊即甲與庚之比例亦大于辛與庚而甲幾何
　大于辛(本篇/十)是大甲與丙之比例大于小辛與丙矣
　(本篇/八)夫辛與丙之比例以平理推之若丁與己也(本/篇)
　(廿/二)則甲與丙之比例大于丁與己也
　第三十二題
此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第二
　與三之比例此第二與三之比例大于彼第一與二
　之比例如是錯者以平理推則此第一與三之比例
<pb:KR3f0047_WYG_005-65b>
　亦大于彼第一與三之比例
　解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙
　之比例大于戊與己乙與丙之比例大于丁與戊如
　　　　　　是錯者題言以平理推則甲與丙之比
　　　　　　例亦大于丁與己
　　　　　　論曰試作庚與丙之比例若丁與戊即
　　　　　　乙與丙之比例大於庚與丙而乙㡬何
　　　　　　大于庚(本篇/十)是甲與小庚之比例大于
<pb:KR3f0047_WYG_005-66a>
　甲與大乙矣(本篇/八)夫甲與乙之比例既大于戊與己
　即甲與庚之比例更大于戊與己也次作辛與庚之
　比例若戊與己即甲與庚之比例亦大于辛與庚而
　甲幾何大于辛(本篇/十)是大甲與丙之比例大于小
　辛與丙矣(本篇/八)夫辛與丙之比例以平理推之
　若丁與己也(本篇/廿三)則甲與丙之比例大于丁與
　己也
　第三十三題
<pb:KR3f0047_WYG_005-66b>
此全與彼全之比例大于此全截分與彼全截分之比
　例則此全分餘與彼全分餘之比例大于此全與彼
　全之比例
　　　解曰甲乙全與丙丁全之比例大于兩截分甲
　　　戊與丙己題言兩分餘戊乙與己丁之比例大
　　　于甲乙與丙丁
　　　論曰甲乙與丙丁之比例既大于甲戊與丙己
　　　更之即甲乙與甲戊之比例亦大于丙丁與丙
<pb:KR3f0047_WYG_005-67a>
　　　己也(本篇/廿七)又轉之甲乙與戊乙之比例小于丙
　　　丁與己丁也(本篇/三十)又更之甲乙與丙丁之比例
　　　小于戊乙與己丁也(本篇/廿七)戊乙與己丁分餘也
　　　則分餘之比例大于甲乙全與丙丁全矣依顯
　　　兩全之比例小于截分則分餘之比例小于
　兩全
　第三十四題(三支/)
若干幾何又有若干㡬何其數等而此第一與彼第一
<pb:KR3f0047_WYG_005-67b>
　之比例大于此第二與彼第二之比例此第二與彼
　第二之比例大于此第三與彼第三之比例以後俱
　如是則此并與彼并之比例大于此末與彼末之比
　例亦大于此并減第一與彼并減第一之比例而小
　于此第一與彼第一之比例
　解曰如甲乙丙三幾何又有丁戊己三幾何其甲與
　丁之比例大于乙與戊乙與戊之比例大于丙與己
　題先言甲乙丙并與丁戊己并之比例大于丙與己
<pb:KR3f0047_WYG_005-68a>
　　　　次言亦大於乙丙并與戊己并後言小于甲
　　　　與丁
　　　　論曰甲與丁之比例既大于乙與戊更之即
　　　　甲與乙之比例大于丁與戊也(本篇/廿七)又合之
　　　　甲乙并與乙之比例大于丁戊并與戊也(本/篇)
　(廿/八)又更之甲乙并與丁戊并之比例大于乙與戊也
　(本篇/廿七)是甲乙全與丁戊全之比例大于減并乙與減
　并戊也既爾即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙
<pb:KR3f0047_WYG_005-68b>
　　　　全與丁戊全也(本篇/卅三)依顯乙與戊之比例亦
　　　　大于乙丙全與戊己全即甲與丁之比例更
　　　　大于乙丙全與戊己全也又更之甲與乙丙
　　　　并之比例大于丁與戊己并也(本篇/廿七)又合之
　　　　甲乙丙全與乙丙并之比例大于丁戊己全
　與戊己并也(本篇/廿八)又更之甲乙丙全與丁戊己全之
　比例大于乙丙并與戊己并也(本篇/廿七)則得次解也又
　甲乙丙全與丁戊己全之比例既大于減并乙丙與
<pb:KR3f0047_WYG_005-69a>
　減并戊己即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙丙
　全與丁戊己全也(本篇/卅三)則得後解也又乙與戊之比
　例既大于丙與己更之即乙與丙之比例大于戊與
　己也(本篇/卄七)又合之乙丙全與丙之比例大于戊己全
　與己也(本篇/卄八)又更之乙丙并與戊己并之比例大于
　丙與己也(本篇/卄七)而甲乙丙并與丁戊己并之比例既
　大于乙丙并與戊己并即更大于末丙與末己也
　則得先解也
<pb:KR3f0047_WYG_005-69b>
　　　　　　　若兩率各有四幾何而丙與己之比
　　　　　　　例亦大于庚與辛即與前論同理
　　　　　　　盖依上文論乙與戊之比例大于乙丙庚
　　　　　　　并與戊己辛并即甲與丁之比例更
　　　　　　　大于乙丙庚并與戊己辛并也更之
　　　　　　　即甲與乙丙庚并之比例大于丁與
　　　　　　　戊己辛并也(本篇/十八)又合之甲乙丙庚
　　　　　　　全與乙丙庚并之比例大于丁戊
<pb:KR3f0047_WYG_005-70a>
　己辛全與戊己辛并也又更之甲乙丙庚全與丁戊
　己辛全之比例大于乙丙庚并與戊己辛并也(本篇/廿七)
　則得次解也又甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例
　既大于減并乙丙庚與減并戊己辛即減餘甲與減
　餘丁之比例大于甲乙丙庚全與丁戊己辛全也(本/篇)
　(卅/三)則得後解也又依前論顯乙丙庚并與戊己辛并
　之比例既大于庚與辛而甲乙丙庚全與丁戊己辛
　全之比例大于乙丙庚并與戊己辛并即更大于末
<pb:KR3f0047_WYG_005-70b>
　庚與末辛也則得先解也自五以上至于無窮俱倣
　此論可顯全題之㫖
　
　
　
　
　
　幾何原本卷五

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#+TITLE: 幾何原本
#+DATE: 2015-08-24 23:11:02.045128
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#+PROPERTY: JUAN 卷六之首
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欽定四庫全書
　幾何原本卷六之首
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇譯
　　界說六則
　第一界
凡形相當之各角等而各等角旁兩線之比例俱等為
　相似之形
　甲乙丙丁戊己兩角形之甲角與丁角等乙與戊丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-1b>
　　　　　　　與己各等其甲角旁之甲乙與甲丙
　　　　　　　两線之比例若丁角旁之丁戊與
　　　　　　　丁己兩線而甲乙與乙丙若丁戊與
　　　　　　　戊己甲丙與丙乙若丁己與己戊則
　　　　　　　此兩角形為相似之形依顯凡平邉
　　　　　　　形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱
　平邉角形其各角俱等而各邉之比例亦等者是也
　四邉五邉以上諸形俱倣此
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　第二界
兩形之各兩邉線互為前後率相與為比例而等為互
　相視之形
　　　　　　　甲乙丙丁戊己庚辛兩方形其甲乙
　　　　　　　乙丙邉與戊己己庚邉相與為比例
　　　　　　　等而彼此互為前後如甲乙與戊己
　　　　　　　若己庚與乙丙也則此兩形為互相
　　　　　　　視之形依顯壬癸子丑寅卯兩角形
<pb:KR3f0047_WYG_006-2b>
　之壬子與丑寅若丑卯與壬癸或壬癸與丑寅若丑
　卯與壬子亦互相視之形也
　第三界
理分中末線者一線兩分之其全與大分之比例若大
　分與小分之比例
　　　甲乙線兩分之于丙而甲乙與大分甲丙之比
　　　例若大分甲丙與小分丙乙此為理分中末線
　　　其分法見本卷三十題而與二卷十一題理同
<pb:KR3f0047_WYG_006-3a>
　名異此線為用甚廣至量體尤所必須十三卷諸題
　多頼之古人目為神分線也
　第四界
度各形之髙皆以垂線之亘為度
　　　　　甲乙丙角形從甲頂向乙丙底作甲庚垂
　　　　　線即甲庚為甲乙丙之髙又丁戊己角形
　　　　　作丁辛垂線即丁辛為丁戊己之髙若兩
　形相視兩垂線等即兩形之髙必等如上兩形在兩
<pb:KR3f0047_WYG_006-3b>
　平行線之内者是也若以丙己為頂以甲乙丁戊為
　底則不等自餘諸形之度髙俱倣此
　凡度物髙以頂底為界以垂線為度盖物之定度止
　有一不得有二自頂至底垂線一而己偏線無數也
　第五界
比例以比例相結者以多比例之命數相乗除而結為
　一比例之命數
　此各比例不同理而相聚為一比例者則用相結之
<pb:KR3f0047_WYG_006-4a>
　法合各比例之命數求首尾一比例之命數也曷為
　比例之命數謂大幾何所倍於小幾何若干或小幾
　何在大幾何内若干也如大幾何四倍于小或小幾
　何為大四分之一即各以四為命比例之數也(五卷/界說)
　　　　　　　　　(三/)今言以彼多比例之命數相
　　　　　　　　　乗除而結為此一比例之命數
　　　　　　　　　者如十二倍之此比例則以彼
　　　　　　　　　二倍六倍兩比例相結也二六
<pb:KR3f0047_WYG_006-4b>
　　　　　　　　　相乗為十二故也或以彼三倍
　　　　　　　　　四倍兩比例相結也三四相乗
　　　　　　　　　亦十二故也又如三十倍之此
　　　　　　　　　比例則以彼二倍三倍五倍三
　　　　　　　　　比例相結也二乗三為六六乗
　五為三十故也
　其曰相結者相結之理盖在中率凡中率為前比例
　之後後比例之前故以二比例合為一比例則中率
<pb:KR3f0047_WYG_006-5a>
　為輳合之因如兩爿合此為之膠如兩襟合此為之
　紐矣第五卷第十界言數幾何為同理之比例則第
　一與第三為再加之比例再加者以前中二率之命
　數再加為前後二率之命數亦以中率為紐也但彼
　所言者多比例同理故止以第一比例之命數累加
　之此題所言則不同理之多比例不得以第一比例
　之命數累加之故用此乗除相結之理于不同理之
　中求其同理别為累加之法其紐結之義頗相類焉
<pb:KR3f0047_WYG_006-5b>
　下文仍發明借象之術以需後用也
　五卷言多比例同理者第一與第三為再加與第四
　為三加與第五為四加以至無窮今此相結之理亦
　　　　　　　　　　以三率為始三率則兩比例
　　　　　　　　　　相乗除而中率為紐也若四
　　　　　　　　　　率則先以前三率之兩比例
　　　　　　　　　　相乗除而結為一比例復以
　　　　　　　　　　此初結之比例與第三比例
<pb:KR3f0047_WYG_006-6a>
　乗除相結為一比例也若五率則先以前三率之兩
　比例乗除相結復以此再結之比例與第三比例乗
　除相結又以三結之比例與第四比例乗除相結為
　一比例也或以第一第二第三率之兩比例乗除相
　結以第三第四第五之兩比例乗除相結又以此二
　所結比例乗除相結而為一比例也自六以上倣此
　以至無窮
　設三幾何為二比例不同理而合為一比例則以第
<pb:KR3f0047_WYG_006-6b>
　一與二第二與三兩比例相結也如上圗三幾何二
　比例皆以大不等者其甲乙與丙丁為二倍大丙丁
　　　　　　與戊己為三倍大則甲乙與戊己為六
　　　　　　倍大二乗三為六也若以小不等戊己
　為第一甲乙為第三三乗二亦六則戊己與甲乙為
　反六倍大也
　甲乙與丙丁既二倍大試以甲乙二平分之為甲庚
　庚乙必各與丙丁等丙丁與戊己既三倍大而甲庚
<pb:KR3f0047_WYG_006-7a>
　庚乙各與丙丁等即甲庚亦三倍大於戊己庚乙亦
　三倍大於戊己而甲乙必六倍大於戊己
　　　　　　又如上圗三幾何二比例前以大不等
　　　　　　後以小不等者中率小子前後兩率也
　其甲乙與丙丁為三倍大丙丁與戊己為反二倍大
　(反二倍大者丙/丁得戊己之半)即甲乙與戊己為等帶半三乗半得
　等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三反推之半
　除三為反等帶半也
<pb:KR3f0047_WYG_006-7b>
　　　　　　又如上圗三幾何二比例前以小不等
　　　　　　後以大不等者中率大於前後二率也
　其甲乙與丙丁為反二倍大(甲乙得丙/丁之半)丙丁與戊己
　為等帶三分之一即甲乙與戊己為反等帶半(甲乙/得戊)
　(己三分/之二)何者如甲乙二即丙丁當四丙丁四即戊己
　當三是甲乙二戊己當三也
　後増其乗除之法則以命數三帶得數一為四以半
　除之得二二比三為反等帶半也若以戊己為第一
<pb:KR3f0047_WYG_006-8a>
　甲乙為第三三比二為等帶半也
　　　　　　設四幾何為三比例不同理而合為一
　　　　　　比例則以第一與二第二與三第三與
　　　　　　四三比例相結也如上圗甲乙丙丁四
　幾何三比例先依上論以甲與乙乙與丙二比例相
　結為甲與丙之比例次以甲與丙丙與丁相結即得
　甲與丁之比例也如是逓結可至無窮也
　或用此圗申明本題之㫖曰甲與乙之命數為丁乙
<pb:KR3f0047_WYG_006-8b>
　　　　　　　與丙之命數為戊即甲與丙之命數
　　　　　　　為己何者三命數以一丁二戊相乗
　　　　　　　得三己即三比例以一甲與乙二乙
　與丙相乗得三甲與丙
　後増若多幾何各帶分而多寡不等者當用通分法
　如設前比例為反五倍帶三之二後比例為二倍大
　帶八之一即以前命數三通其五倍為十五得分數
　從之為十七是前比例為三與十七也以後命數八
<pb:KR3f0047_WYG_006-9a>
　通其二倍為十六得分數從之為十七是後比例為
　十七與八也即首尾二幾何之比例為三與八得二
　倍大帶三之二也
　曷謂借象之術如上所說三幾何二比例者皆以中
　率為前比例之後後比例之前乗除相結畧如連比
　例之同用一中率也而不同理别有二比例異中率
　者是不同理之斷比例也無法可以相結當于其所
　設幾何之外别立三幾何二比例而同中率者乗除
<pb:KR3f0047_WYG_006-9b>
　相結作為儀式以彼異中率之四幾何二比例依倣
　求之即得故謂之借象術也假如所設幾何十六為
　　　　　　　　　　　　首十二為尾却云十六
　　　　　　　　　　　　與十二之比例若八與
　　　　　　　　　　　　三及二與四之比例八
　　　　　　　　　　　　為前比例之前四為後
　　　　　　　　　　　　比例之後三與二為前
　　　　　　　　　　　　之後後之前此所謂異
<pb:KR3f0047_WYG_006-10a>
　中率也欲以此二比例乗除相結無法可通矣用是
　别立三幾何二比例如其八與三二與四之比例而
　務令同中率如三其八得二十四為前比例之前三
　其三得九為前比例之後即以九為後比例之前又
　求九與何數為比例若二與四得十八為後比例之
　後其二十四與九若八與三也九與十八若二與四
　也則十六與十二若二十四與十八俱為等帶半之
　比例矣是用借象之術變異中率為同中率乗除相
<pb:KR3f0047_WYG_006-10b>
　結而合二比例為一比例也其三比例以上亦如上
　方所說展轉借象逓結之　詳見本卷二十三題筭
　家所用借象金法雙金法俱本此
　第六界
平行方形不滿一線為形小於線若形有餘線不足為
　形大於線
　甲乙線其上作甲戊丁丙平行方形不滿甲乙線而
　丙乙上無形即作己乙線與丁丙平行次引戊丁線
<pb:KR3f0047_WYG_006-11a>
　　　　　遇己乙于己是為甲戊己乙滿甲乙線平
　　　　　行方形則甲丁為依甲乙線之有闕平行
　　　　　方形而丙己平行方形為甲丁之闕形又
　甲丙線上作甲戊己乙平行方形其甲乙邉大于元
　設甲丙線之較為丙乙而甲己形大于甲丙線上之
　甲丁形則甲己為依甲丙線之帶餘平行方形而丙
　己平行方形為甲己之餘形
　
<pb:KR3f0047_WYG_006-11b>
　
　
　
　
　
　
　
　幾何原本卷六之首
#+PROPERTY: JUAN 卷六
<pb:KR3f0047_WYG_006-12a>
欽定四庫全書
　幾何原本卷六
　　　　　　　　　　　　　西洋利瑪竇撰
　第一題
等髙之三角形方形自相與為比例與其底之比例等
　　　　　觧曰甲乙丙丁戊己兩角形等髙其底乙
　　　　　丙戊己丙庚戊辛兩方形等髙其底乙丙
　　　　　戊己題言甲乙丙與丁戊己之比例丙庚
<pb:KR3f0047_WYG_006-12b>
　　　　　與戊辛之比例皆若乙丙與戊己
　　　　　論曰試置四形於庚辛子寅兩平行線内
　　　　　(凡形自頂至底作垂線即本形之髙故/等髙者必在平行線内見本卷界說四)于
　　　　　乙子線内作數底線各與乙丙等為乙壬
　　　　　壬癸癸子于己寅線内作數底線各與戊
　　　　　己等為己丑丑寅次從甲從丁作甲壬甲
　　　　　癸甲子丁丑丁寅諸線其甲乙丙甲乙壬
　甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行線内即
<pb:KR3f0047_WYG_006-13a>
　等(一卷/三八)依顯丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等
　則子丙底線大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于
　甲乙丙亦若干倍依顯戊寅之倍戊己亦若丁戊寅
　之倍丁戊己(底線分數與形/之分數等故)即用三試法若子丙
　底大于戊寅底則甲子丙形亦大于丁戊寅形也若
　等亦等若小亦小也(一卷/三八)則一乙丙所倍之子丙三
　甲乙丙所倍之甲子丙與二戊己所倍之戊寅四丁
　戊己所倍之丁戊寅等大小皆同類也而一乙丙底
<pb:KR3f0047_WYG_006-13b>
　與二戊己底之比例若三甲乙丙與四丁戊己矣(五/卷)
　(六/界)又丙庚戊辛兩方形各倍大于甲乙丙丁戊己兩
　角形(一卷/卅三)而甲乙丙與丁戊己之比例既若乙丙與
　戊己即丙庚與戊辛兩方形之比例亦若乙丙與戊
　己兩底矣(五卷/十五)或從壬癸子及丑寅各作直線與庚
　乙辛己平行即依上論推顯
　　增題凡兩角形兩方形各等底其自相與為比例
　　若兩形之髙之比例
<pb:KR3f0047_WYG_006-14a>
　　　　　　解曰甲乙丙與丁戊己兩角形甲庚乙
　　　　　　丙與丁戊己辛兩方形其底乙丙與戊
　　　　　　己等題言甲乙丙與丁戊己兩角形之
　　　　　　比例甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形之
　　　　　　比例皆若甲壬與丁癸兩髙
　　　　　　論曰試作子壬底線與乙丙等作丑癸
　　底線與戊己等次作甲子丁丑兩線其甲壬子與
　　甲乙丙兩角形等底又等髙即等依顯丁癸丑與
<pb:KR3f0047_WYG_006-14b>
　　甲乙丙兩角形等底又等髙即等依顯丁癸丑與
　　丁戊己兩角形亦等(一卷/三八)即甲乙丙與丁戊己之
　　比例若甲壬子與丁癸丑也(五卷/七)今以甲壬丁癸
　　為底即甲壬子與丁癸丑两角形之比例若甲壬
　　與丁癸兩底也(本篇/一)而甲乙丙與丁戊乙之比例
　　亦若甲壬與丁癸矣又甲乙丙與丁戊己兩角形
　　之比例既以倍大故若甲庚乙丙與丁戊己辛兩
　　方形之比例(五卷/十五)即兩方形之比例亦若甲壬與
<pb:KR3f0047_WYG_006-15a>
　　丁癸兩底也(五卷/十一)若作庚子辛丑兩線亦依前論
　　推顯
　第二題(二/支)
三角形任依一邉作平行線即此線分兩餘邉以為比
　例必等三角形内有一線分兩邉以為比例而等即
　此線與餘邉為平行
　　　　　先解曰甲乙丙角形内如作丁戊線與乙
　　　　　丙平行題言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-15b>
　以為比例必等者甲丁與丁乙若甲戊與戊丙也
　論曰試作丁丙戊乙兩線其丁戊乙丁戊丙兩角形同
　以丁戊為底同在兩平行線内即等(一卷/三七)而甲戊丁
　與丁戊乙兩角形之比例若甲戊丁與丁戊丙矣(五/卷)
　(七/)夫甲戊丁與丁戊乙兩角形亦在兩平行線内(若/干)
　(戊㸃上作一線與甲乙/平行即兩形在其内)則甲戊丁與丁戊乙兩角形
　之比例若甲丁與丁乙兩底也(本篇/一)依顯甲戊與戊
　丙兩底之比例亦若甲戊丁與丁戊丙兩角形也(兩/形)
<pb:KR3f0047_WYG_006-16a>
　(亦在兩平/行線内故)是甲丁與丁乙兩線之比例甲戊與戊丙
　兩線之比例皆若甲戊丁與丁戊乙也或與丁戊丙
　也(丁戊乙與/丁戊丙等)則甲丁與丁乙亦若甲戊與戊丙也(五/卷)
　(十/一)
　後解曰甲乙丙角形内有丁戊線分甲乙甲丙于丁
　于戊以為比例而等題言丁戊與乙丙為平行線
　論曰試作丁丙戊乙兩線其甲丁與丁乙兩底之比
　例若甲戊丁與丁戊乙兩角形也(在兩平行線内/故見本篇一)而
<pb:KR3f0047_WYG_006-16b>
　甲丁與丁乙之比例若甲戊與戊丙即甲戊丁與丁
　戊乙之比例亦若甲戊與戊丙也(五卷/十一)又甲戊與戊
　丙兩底之比例既若甲戊丁與丁戊丙(在兩平行線/内故見本篇)
　　　　　(一/)則甲戊丁與丁戊乙之比例亦若甲戊
　　　　　丁與丁戊丙也(五卷/十一)而丁戊乙與丁戊丙
　　　　　兩角形等矣(五卷/九)兩角形同以丁戊為底
　而等則在兩平行線内(一卷/卅九)
　第三題(二支/)
<pb:KR3f0047_WYG_006-17a>
三角形任以直線分一角為兩平分而分對角邉為兩
　分則兩分之比例若餘兩邉之比例三角形分角之
　線所分對角邉之比例若餘兩邉則所分角為兩平
　分
　先解曰甲乙丙角形以甲丁線分乙甲丙角為兩平
　　　　　分題言乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲
　　　　　丙
　論曰試作乙戊線與甲丁平行次于丙甲線引長之
<pb:KR3f0047_WYG_006-17b>
　至戊其甲乙戊與乙甲丁為平行線相對之兩内角
　等外角丁甲丙與内角戊亦等(一卷/廿九)今乙甲丁與丁
　甲丙又等即甲乙戊角與戊角亦等也而甲戊與甲
　乙兩腰亦等矣(一卷/六)則戊甲與甲丙之比例若乙甲
　與甲丙也(五卷/七)夫戊甲與甲丙之比例若乙丁與丁
　丙也(本篇/二)則乙甲與甲丙之比例亦若乙丁與丁丙
　也(五卷/十一)後解曰乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲丙
　題言甲丁線分乙甲丙角為兩平分
<pb:KR3f0047_WYG_006-18a>
　　　　　論曰依前作乙戊線與甲丁平行而引丙
　　　　　甲線至戊其乙甲與甲丙之比例既若乙
　丁與丁丙甲丁線又與戊乙邉平行而乙丁與丁丙
　之比例若戊甲與甲丙(本篇/二)即乙甲與甲丙之比例
　亦若戊甲與甲丙(五卷/十一)是戊甲與乙甲兩線等矣(五/卷)
　(九/)則甲乙戊角與戊角亦等也(一卷/五)夫甲乙戊與乙
　甲丁為平行線相對之兩内角等而外角丁甲丙與
　内角戊亦等(一卷/廿九)則乙甲丁丁甲丙兩角必等
<pb:KR3f0047_WYG_006-18b>
　第四題
凡等角三角形其在等角旁之各兩腰線相與為比例
　必等而對等角之邉為相似之邉
　　　　　解曰甲乙丙丁丙戊兩角形等角者甲乙
　　　　　丙與丁丙戊甲丙乙與丁戊丙乙甲丙與
　　　　　丙丁戊每相當之各角俱等也題言甲乙
　　　　　與乙丙之比例若丁丙與丙戊甲乙與甲
　丙若丁丙與丁戊甲丙與乙丙若丁戊與丙戊而每
<pb:KR3f0047_WYG_006-19a>
　對等角之邉各相似相似者謂各前各後率各對本
　形之相當等角論曰試並置兩角形令乙丙丙戊兩
　底為一直線而丁丙戊為甲乙丙之外角其甲乙丙
　甲丙乙兩角既小于兩直角(一卷/廿七)丁戊丙與甲丙乙
　　　　　两角又等即乙戊两角亦小於兩直角而
　　　　　乙甲戊丁兩線引出之必相遇(一卷界/說十一)即
　　　　　作兩線令遇于己其丁丙戊外角與甲乙
　　　　　丙内角既等即丁丙與己乙為平行線(一/卷)
<pb:KR3f0047_WYG_006-19b>
　(廿/八)依顯甲丙乙外角與丁戊丙内角既等即甲丙與
　己戊亦平行線(一卷/廿八)而甲己丁丙為平行線方行則
　甲己與丁丙兩線等也甲丙與己丁兩線等也(一卷/卅四)
　夫乙戊己角形内之甲丙線既與己戊邉平行即甲
　乙與等甲己之丁丙之比例若乙丙與丙戊也(本篇/二)
　更之即甲乙與乙丙若丁丙與丙戊也(五卷/十六)又乙戊
　己角形内之丁丙線既與己乙邉平行即乙丙與丙
　戊之比例若等己丁之甲丙與丁戊也(本篇/二)更之即
<pb:KR3f0047_WYG_006-20a>
　乙丙與甲丙若丙戊與丁戊也(五卷/十六)甲乙與乙丙既
　若丁丙與丙戊而乙丙與甲丙又若丙戊與丁戊平
　之即甲乙與甲丙若丁丙與丁戊也(五卷/廿二)
　一系凡角形内之直線與一邉平行而截一分為角
　　　　　形必與全形相似如上甲乙丙角形作丁
　　　　　戊直線與乙丙平行而截一分為甲丁戊
　角形必與甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角與甲
　乙丙内角等甲戊丁外角亦與甲丙乙内角等(一卷/廿九)
<pb:KR3f0047_WYG_006-20b>
　甲角又同即兩形相似而各等角旁兩邉之比例等
　(本/題)
　　増題凡角形之内任依一邉作一平行線于此邉
　　任取一㸃向對角作直線則所分兩平行線比例
　　等
　　　　　　　解曰甲乙丙角形内作丁戊線與乙
　　　　　　　丙平行次于乙丙邉任取己㸃向甲
　　　　　　　角作直線分丁戊于庚題言乙己與
<pb:KR3f0047_WYG_006-21a>
　己丙之比例若丁庚與庚戊
　　論曰甲己乙甲庚丁兩角形既相似(本/系)即甲己與
　　己乙之比例若甲庚與庚丁也更之即甲己與甲
　　庚若己乙與庚丁也(五卷/十六)依顯甲己與甲庚若己
　　丙與庚戊也則乙己與丁庚亦若己丙與庚戊也
　　(五卷/十一)更之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也(五卷/十六)
　　又論曰甲己乙甲庚丁兩角形甲己丙甲庚戊兩
　　角形既各相似即乙己與甲己之比例若丁庚與
<pb:KR3f0047_WYG_006-21b>
　　庚甲也(本/系)依顯甲己與己丙亦若甲庚與庚戊也
　　平之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也(五卷/廿二)
　第五題
兩三角形其各兩邊之比例等即兩形為等角形而對
　各相似邊之角各等
　觧曰甲乙丙丁戊己兩角形其各兩邊之比例等者甲乙
　與乙丙若丁戊與戊己而乙丙與甲丙若戊己與丁己甲
　丙與甲乙若丁己與丁戊也題言此兩形為等角形而對
<pb:KR3f0047_WYG_006-22a>
　　　　　各相似邊之角甲與丁乙與戊丙與己各等
　　　　　論曰試作己戊庚角與乙角等作庚己戊角與
　　　　　丙角等而戊庚己庚兩線遇于庚即庚角與甲
　　　　　角等(一卷/三二)是甲乙丙庚戊己兩形等角矣則甲
　乙與乙丙之比例若庚戊與戊己也(本篇/四)甲乙與乙丙元
　若丁戊與戊己則庚戊與戊己亦若丁戊與戊己也(五卷/十一)
　而丁戊與庚戊兩線必等(五卷/九)又乙丙與甲丙之比例若
　戊己與庚己(本篇/四)而乙丙與甲丙元若戊己與丁己則戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-22b>
　己與庚己亦若戊己與丁己也(五卷/十一)而丁己與庚己兩線
　必等(五卷/九)夫庚戊庚己兩腰既與丁戊丁己兩腰各等戊己
　同底即丁角與庚角亦等(一卷/八)其餘庚戊己與丁戊己庚己
　戊與丁己戊各相當之角俱等(一卷/四)而庚角與甲角既等即
　丁角與甲角亦等丁戊己角與乙角丁己戊角與丙角俱等
　第六題
兩三角形之一角等而等角旁之各兩邊比例等即兩形
　為等角形而對各相似邊之角各等
<pb:KR3f0047_WYG_006-23a>
　解曰甲乙丙丁戊己兩角形其乙與戊两角等而甲乙與乙
　丙之比例若丁戊與戊己題言餘角丙與己甲與丁俱等
　　　　　論曰試作己戊庚角與乙角等作庚己戊角與
　　　　　丙角等而戊庚己庚两線遇于庚依前論推顯
　　　　　甲乙丙庚戊己兩形等角即甲乙與乙丙之比
　　　　　例若庚戊與戊己也(本篇/四)甲乙與乙丙元若丁
　戊與戊己則庚戊與戊己亦若丁戊與戊己也(五卷/十一)而
　丁戊與庚戊兩線必等(五卷/九)夫丁戊庚戊兩邊既等戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-23b>
　己同邊庚戊己角與丁戊己角又等(丁戊己角與乙角/等而己戊庚亦與)
　(乙等/故)即其餘各相當之角俱等(一卷/四)而庚角既與甲
　角等庚己戊角既與丙角等即甲角丙角與丁角戊
　己丁角各等而甲乙丙丁戊己為等角形矣
　第七題
兩三角形之第一角等而第二相當角各兩旁之邊比
　例等其第三相當角或俱小于直角或俱不小于直
　角即兩形為等角形而對各相似邊之角各等
<pb:KR3f0047_WYG_006-24a>
　解曰甲乙丙丁戊己兩角形其一甲角與一丁角等
　　　　　而第二相當角如甲丙乙兩旁之甲丙丙
　　　　　乙兩邉偕丁己戊兩旁之丁己己戊兩邉
　　　　　比例等其第三相當角如乙與戊或俱小
　　　　　于直角或俱不小于直角題言兩形等角
　　　　　者謂甲丙乙角與己等乙角與戊等
　　　　　先論乙與戊俱小于直角者曰如云不然
　而甲丙乙大于己令作甲丙庚角與己等即甲庚丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-24b>
　角宜與戊等(一卷/卅二)甲庚丙與丁戊己為等角形矣即
　甲丙與丙庚之比例宜若丁己與己戊(本篇/四)而先設
　甲丙與丙乙若丁己與己戊也是甲丙與丙庚亦若
　甲丙與丙乙也(五卷/十一)是庚丙與乙丙兩線等也(五卷/九)
　丙庚乙與丙乙庚兩角亦等也(一卷/五)夫乙既小于直
　角即等腰内之丙庚乙亦小于直角則較角之丙庚
　甲必大于直角也(丙庚甲丙庚乙兩角等/于兩直角見一卷十三)而丙庚甲
　既與戊等則丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角
<pb:KR3f0047_WYG_006-25a>
　何由得小于直角也
　後論乙與戊俱不小于直角者曰如云不然依先論
　乙角與丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙
　庚乙丙乙庚同為角形内之兩角乃俱不小于直角
　(一卷/十七)何也則甲丙乙不得不等于丁己戊也而其餘
　乙與戊角等矣(一卷/卅二)
　第八題
直角三邉形從直角向對邉作一垂線分本形為兩直
<pb:KR3f0047_WYG_006-25b>
　角三邉形即兩形皆與全形相似亦自相似
　　　　解曰甲乙丙直角三邉形從乙甲丙直角作
　　　　甲丁垂線題言所分甲丁丙甲丁乙兩三邉
　　　　形皆與全形相似亦自相似
　論曰甲乙丙甲丁丙兩形既各以乙甲丙甲丁丙為
　直角而丙角又同即其餘甲乙丙丁甲丙兩角必等
　(一卷/三)則甲乙丙甲丁丙兩形必為等角形而等角旁
　之各兩邉比例必等等者謂乙丙與甲丙若甲丙與
<pb:KR3f0047_WYG_006-26a>
　丙丁也甲丙與甲乙若丙丁與甲丁也乙丙與甲乙
　若甲丙與甲丁也即甲丁丙角形與甲乙丙全形相
　似矣(本篇/四)依顯甲丁乙角形與甲乙丙全形亦相似
　也何者丙甲乙甲丁乙兩皆直角而乙角又同即其
　餘甲丙乙丁甲乙兩角必等(一卷/卅二)甲乙丙甲丁乙兩
　形必為等角形而等角旁之各兩邉比例必等故也
　依顯甲丁乙甲丁丙兩角形亦相似也何者兩形各
　與全形相似即兩形自相似(五卷/十一)
<pb:KR3f0047_WYG_006-26b>
　系從直角作垂線即此線為兩分對邉線比例之中
　率而直角旁兩邉各為對角全邉與同方分邉比例
　之中率何者丙丁與丁甲之比例若丁甲與丁乙也
　故丁甲為丙丁丁乙兩分邉比例之中率也又乙丙與
　丙甲之比例若丙甲與丙丁也故丙甲為乙丙丙丁
　之中率也乙丙與乙甲之比例若乙甲與乙丁也故
　乙甲為乙丙乙丁之中率也
　第九題
<pb:KR3f0047_WYG_006-27a>
一直線求截所取之分
　　　　法曰甲乙直線求截取三分之一先從甲任
　　　　作一甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作
　　　　所命分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也
　　　　次作己乙直線末作丁庚線與己乙平行即
　甲庚為甲乙三分之一
　論曰甲乙己角形内之丁庚線既與乙己邉平行即
　己丁與丁甲之比例若乙庚與庚甲也(本篇/二)合之己
<pb:KR3f0047_WYG_006-27b>
　甲與甲丁若乙甲與庚甲也(五卷/十八)而甲丁既為己甲
　三分之一即庚甲亦為乙甲三分之一也
　　　　　注曰甲乙線欲截取十一分之四先作甲
　　　　　丙線為丙甲乙角從甲向丙任平分十一
　　　　　分至丁次作丁乙線末從甲取四分得戊
　　　　　作戊己線與丁乙平行即甲己為十一分
　　　　　甲乙之四何者依上論丁甲與戊甲之比
　例若乙甲與己甲也反之甲戊與甲丁若甲己與甲
<pb:KR3f0047_WYG_006-28a>
　乙也(五卷/四)甲戊為甲丁十一分之四則甲己亦甲乙
　十一分之四矣依此可推不盡分之數葢四不為十
　一之盡分故
　第十題
一直線求截各分如所設之截分
　　　　　法曰甲乙線求截各分如所設甲丙任分
　　　　　之丁戊者謂甲乙所分各分之比例若甲
　　　　　丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙兩線相聮
<pb:KR3f0047_WYG_006-28b>
　于甲任作丙甲乙角次作丙乙線相聮末從丁從戊
　作丁己戊庚兩線皆與丙乙平行即分甲乙線于己
　于庚若甲丙之分于丁于戊
　論曰甲丁與丁戊之比例既若甲己與己庚(本篇/二)即
　甲己與己庚亦若甲丁與丁戊也更作丁辛線與甲
　乙平行而分戊庚于壬即丁戊與戊丙若丁壬與壬
　辛也亦若等丁壬之己庚(一卷/卅四)與等壬辛之庚乙也
　(本篇/二)則己庚與庚乙亦若丁戊與戊丙也
<pb:KR3f0047_WYG_006-29a>
　從此題作一用法平分一直線為若干分如甲乙線求
　　　　　　五平分即從甲任作甲丙線為丙甲乙角
　　　　　　次從甲向丙任作五平分為甲丁丁戊戊
　　　　　　己己庚庚辛次作辛乙直線相聨末作丁
　　　　　　壬戊癸己子庚丑四線皆與辛乙平行即
　壬癸子丑分甲乙為五平分其理依前論推顯
　又一簡法如甲乙線求五平分即從丙任作丙乙線
　為丙乙甲角次于乙丙任取一㸃為丁作丁戊線與
<pb:KR3f0047_WYG_006-29b>
　　　　　　　甲乙平行次從丁向戊任作五平分
　　　　　　　為丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸
　　　　　　　線令小于甲乙次從甲過癸作甲子
　　　　　　　線遇乙丙于子末從子作子壬子辛
　　　　　　　子庚子己四線各引長之而分甲乙
　　于丑于寅于卯于辰為五平分
　　論曰丁戊與甲乙既平行即子壬癸與子丑甲兩
　　角子癸壬與子甲丑兩角各等(一卷/廿九)而甲子丑同
<pb:KR3f0047_WYG_006-30a>
　　角即甲子丑癸子壬兩角形相似矣則子癸與癸
　　壬之比例若子甲與甲丑也(本篇/四)依顯子壬與壬
　　辛若子丑與丑寅也又癸壬與壬辛等即子壬與
　　壬癸若子壬與壬辛也(五卷/七)則子丑與丑甲亦若
　　子丑與丑寅也而甲丑丑寅兩線等矣(五卷/十一)依顯
　　寅卯卯辰辰乙俱與甲丑等則甲乙線為五平分
　　又一簡法如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲
　　丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分
<pb:KR3f0047_WYG_006-30b>
　　　　　　　次用元度從甲作壬癸子丑四平分
　　　　　　　末作戊丑己子庚癸辛壬四線相聨
　　　　　　　即分甲乙于己于辰于卯于寅為五
　　　　　　　平分
　　　　　　　論曰辛庚與壬癸既平行相等即辛
　　　　　　　壬與庚癸亦平行(一卷/卅三)依顯己子戊
　　　　　　　丑俱平行而甲丑既為四平分則甲
　　　　　　　己亦四平分(本/題)依顯乙辛既為四平
<pb:KR3f0047_WYG_006-31a>
　　分則乙寅亦四平分而通甲乙為五平分
　　　　　　　　　又用法先作一器丙丁戊己為
　　　　　　　　　平行線任平分為若干格每分
　　　　　　　　　作平行線相聨今欲分甲乙為
　　　　　　　　　五平分即規取甲乙之度以一
　　角抵戊丙線而一角抵庚辛線如不在庚辛者即
　　漸移之令至也既至壬即戊壬之分為甲乙之分
　　論曰庚癸與子辛既平行相等即癸子庚辛亦平
<pb:KR3f0047_WYG_006-31b>
　　行相等(一卷/卅三)而丙丁戊己内諸線俱平行相等戊
　　庚為五平分即戊壬亦五平分矣(本/題)戊壬之度既
　　與甲乙等即自戊至壬諸格分甲乙為五平分也
　　如戊丙線上取丑㸃而甲乙度抵庚辛之外若丑
　　寅即從庚辛線引長之為庚寅而癸子諸線俱引
　　長之其丑寅仍為五平分如前論若所欲分之線
　　極小則製器宜宻令相稱焉
　　増題有直線求兩分之而两分之比例若所設兩線
<pb:KR3f0047_WYG_006-32a>
　　之比例
　　　　　　法曰甲乙線求兩分之而兩分之比例
　　　　　　若所設丙與丁先從甲任作甲戊線而
　　　　　　為甲角次截取甲己與丙等己庚與丁
　　等次作庚乙線聨之末作己辛線與庚乙平行即
　　分甲乙于辛而甲辛與辛乙之比例若丙與丁說
　　見本篇二
　　又増題兩直線各三分之各互為兩前後率比例
<pb:KR3f0047_WYG_006-32b>
　　等即兩中率與兩前兩後率各為比例亦等
　　　　　　　解曰甲乙丙丁兩線各三分之于戊
　　　　　　　于己于庚于辛各互為兩前兩後率
　　　　　　　比例等者甲戊與戊乙若丙庚與庚
　　丁甲己與己乙若丙辛與辛丁也題言中率戊己
　　庚辛各與其前後率為比例亦等者甲戊與戊己
　　若丙庚與庚辛己乙與戊己若辛丁與庚辛也
　　論曰甲戊與戊乙之比例既若丙庚與庚丁即合
<pb:KR3f0047_WYG_006-33a>
　　之甲乙與戊乙若丙丁與庚丁也而甲己與己乙
　　既若丙辛與辛丁即合之甲乙與己乙若丙丁與
　　辛丁也又反之己乙與甲乙若辛丁與丙丁也夫
　　己乙與甲乙既若辛丁與丙丁而甲乙與戊乙又
　　　　　　　若丙丁與庚丁即平之己乙與戊乙
　　　　　　　亦若辛丁與庚丁也(五卷/廿二)又轉之戊
　　　　　　　乙與戊己若庚丁與庚辛也又分之
　　己乙與戊己若辛丁與庚辛也此後解也又甲戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-33b>
　　與戊乙既若丙庚與庚丁而戊乙與戊己又若庚
　　丁與庚辛即平之甲戊與戊己若丙庚與庚辛也
　　此前觧也
　　又簡論曰如後圗聨甲于丙作乙甲丁角次作丁
　　乙辛己庚戊三線相聨其甲戊與戊乙之比例既
　　若丙庚與庚丁即庚戊與丁乙平行(本篇/二)甲己與
　　己乙既若丙辛與辛丁即辛己與丁乙平行(本篇/二)
　　而庚戊與辛己亦平行(一卷/三十)是甲戊與戊己若丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-34a>
　　庚與庚辛也己乙與戊己亦若辛丁與庚辛也(本/篇)
　　(二/)
　第十一題
兩直線求别作一線相與為連比例
　　　　法曰甲乙甲丙兩線求别作一線相與為連比
　　　　例者合兩線任作甲角而甲乙與甲丙之比
　　　　例若甲丙與他線也先于甲乙引長之為乙
　丁與甲丙等次作丙乙線相聨次從丁作丁戊線與
<pb:KR3f0047_WYG_006-34b>
　丙乙平行末于甲丙引長之遇于戊即丙戊為所求
　　　　線(如以甲丙為/前率倣此)
　　　　論曰甲丁戊角形内之丙乙線既與戊丁邉
　　　　平行即甲乙與乙丁之比例若甲丙與丙戊
　也(本篇/二)而乙丁甲丙元等即甲乙與甲丙若甲丙與
　　　　　丙戊也(五卷/七)
　　　　　注曰别有一法以甲乙乙丙兩線列作甲
　　　　　乙丙直角次以甲丙線聨之而甲乙引長
<pb:KR3f0047_WYG_006-35a>
　　之末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線于丁
　　即乙丁為所求線
　　論曰甲丙丁角形之甲丙丁既為直角而從直角
　　至甲丁底有丙乙垂線即丙乙為甲乙乙丁比例
　　之中率(本篇八/之系)則甲乙與乙丙若乙丙與乙丁也
　　既從一二得三即從二三求四以上至于無窮俱
　　倣此
　第十二題
<pb:KR3f0047_WYG_006-35b>
三直線求别作一線相與為斷比例
　　　　法曰甲乙乙丙甲丁三直線求别作一線相
　　　　與為斷比例者謂甲丁與他線之比例若甲
　　　　乙與乙丙也先以甲乙乙丙作直線為甲丙
　次以甲丁線合甲丙任作甲角次作丁乙線相聨次
　從丙作丙戊線與丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊
　于戊即丁戊為所求線
　論曰甲丙戊角形内之丁乙線既與丙戊邊平行即
<pb:KR3f0047_WYG_006-36a>
　甲丁與丁戊之比例若甲乙與乙丙(本篇/二)
　第十三題
兩直線求别作一線為連比例之中率
　　　　法曰甲乙乙丙兩直線求别作一線為中率
　　　　者謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也
　　　　先以兩線作一直線為甲丙次以甲丙兩平
　分于戊次以戊為心甲丙為界作甲丁丙半圜末從
　乙至圜界作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率
<pb:KR3f0047_WYG_006-36b>
　論曰試從丁作丁甲丁丙兩線即甲丁丙為直角(三/卷)
　(卅/一)而直角所下乙丁垂線兩分對邉線甲丙其甲乙
　與乙丁若乙丁與乙丙也(本篇八/之系)則乙丁為甲乙乙
　丙之中率
　　　　　注曰依此題可推凡半圜内之垂線皆為
　　　　　分徑線之中率線如甲乙丙半圜其乙丁
　　　　　為甲丁丁丙之中率己戊為甲戊戊丙之
　中率辛庚為甲庚庚丙之中率也何者半圜之内從
<pb:KR3f0047_WYG_006-37a>
　垂線作角皆為直角(三卷/卅一)故依前論推顯各為中率
　也
　　増題一直線有他直線大于元線二倍以上求分
　　他線為兩分而以元線為中率
　　　　　法曰甲乙線大于甲丙二倍以上求兩分
　　　　　甲乙而以甲丙為中率先以甲乙甲丙聨
　　　　　為丙甲乙直角而兩平分甲乙于下次以
　　丁為心甲乙為界作甲戊乙半圜次從丙作丙戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-37b>
　　線與甲乙平行而遇半圜界于戊末從戊作戊己
　　垂線而分甲乙于己即戊己為甲己己乙兩分之
　　中率
　　論曰試作戊甲戊乙兩線依本題論即戊己為甲
　　己己乙之中率而甲丙戊己為平行方形即丙甲
　　與戊己等(一卷/卅四)則丙甲亦甲己己乙之中率也
　第十四題(二/支)
兩平行方形等一角又等即等角旁之兩邉為互相視
<pb:KR3f0047_WYG_006-38a>
　之邉兩平行方形之一角等而等角旁兩邉為互相
　視之邉即兩形等
　　　　　　先解曰甲乙丙辛乙戊己庚兩平行方
　　　　　　形等甲乙丙戊乙庚兩角又等題言此
　　　　　　兩角各兩旁之兩邉為互相視之邉者
　甲乙與乙庚之比例若戊乙與乙丙也
　論曰試以兩等角相聨于乙令甲乙乙庚為一直線
　其甲乙丙與戊乙庚既等角卽戊乙乙丙亦一直線
<pb:KR3f0047_WYG_006-38b>
　　　　　　(一卷十/五增題)次從辛丙己庚各引長之遇于
　　　　　　丁其辛乙乙己兩平行方形既等即辛
　　　　　　乙與乙丁兩形之比例若乙己與乙丁
　也(五卷/七)而辛乙與乙丁俱在兩平行線之内等髙即
　辛乙與乙丁兩形之比例若其底甲乙與乙庚也(本/篇)
　(一/)依顯乙己與乙丁兩形亦若其底戊乙與乙丙也
　則甲乙與乙庚亦若戊乙與乙丙也
　後觧曰甲乙丙戊乙庚等角兩旁之各兩邉為互相
<pb:KR3f0047_WYG_006-39a>
　視之邉者甲乙與乙庚若戊乙與乙丙也題言辛乙
　乙己兩平行方形等
　論曰依上論以兩等角相聨其甲乙與乙庚之比例
　既若戊乙與乙丙而甲乙與乙庚兩底之比例若平
　行等髙之辛乙與乙丁兩形(本篇/一)戊乙與乙丙兩底
　之比例若平行等髙之乙己與乙丁兩形則辛乙與
　乙丁若乙己與乙丁矣而辛乙乙己兩形安得不等
　(五卷/九)
<pb:KR3f0047_WYG_006-39b>
　第十五題(二/支)
相等兩三角形之一角等即等角旁之各兩邉互相視
　兩三角形之一角等而等角旁之各兩邉互相視即
　兩三角形等
　　　　先解曰甲乙丙乙丁戊兩角形等兩乙角又
　　　　等題言等角旁之各兩邉互相視者謂甲乙
　　　　與乙戊之比例若丁乙與乙丙也
　　　　論曰試以兩等角相聨于乙令甲乙乙戊為
<pb:KR3f0047_WYG_006-40a>
　一直線其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一
　直線(一卷十/五増題)次作丙戊線相聨其甲乙丙乙丁戊兩
　角形既等即甲乙丙與乙丙戊之比例若乙丁戊與
　乙丙戊也(五卷/七)夫甲乙丙與乙丙戊兩等髙形之比
　例若其底甲乙與乙戊也而乙丁戊與乙丙戊兩等
　髙形亦若其底丁乙與乙丙也則甲乙與乙戊若丁
　乙與乙丙
　後解曰兩乙角等而乙旁各兩邊甲乙與乙戊之比
<pb:KR3f0047_WYG_006-40b>
　例若丁乙與乙丙題言甲乙丙乙丁戊兩角形等
　論曰依前列兩形令等角旁兩邉各為一直線其甲
　乙與乙戊之比例既若丁乙與乙丙而甲乙與乙戊
　兩底又若其上甲乙丙乙丙戊兩等髙角形丁乙與
　乙丙兩底又若其上乙丁戊乙丙戊兩等髙角形則
　甲乙丙與乙丙戊之比例若乙丁戊與乙丙戊矣而
　甲乙丙與乙丁戊豈不相等(五卷/九)
　第十六題(二/支)
<pb:KR3f0047_WYG_006-41a>
四直線為斷比例即首尾兩線矩内直角形與中兩線
　矩内直角形等首尾兩線與中兩線兩矩内直角形
　等即四線為斷比例
　　　　　　先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直線為
　　　　　　斷比例者謂甲乙與己庚若戊己與乙
　　　　　　丙也而甲乙丙丁為甲乙乙丙首尾兩
　　　　　　線矩内直角形戊己庚辛為戊己己庚
　中兩線矩内直角形題言甲丙戊庚兩形等
<pb:KR3f0047_WYG_006-41b>
　論曰兩形之乙與己既等為直角而甲乙與己庚之
　比例若戊己與乙丙是乙己等角旁之各兩邉互相
　視而甲丙戊庚兩直角形必等(本篇/十四)
　後解曰甲丙戊庚兩直角形等題言四線之比例等
　者謂甲乙與己庚若戊己與乙丙也
　論曰甲丙戊庚兩形之乙與己既等為直角即等角
　旁之各兩邉互相視而甲乙與己庚之比例若戊己
　與乙丙也(本篇/十四)則四線為斷比例矣
<pb:KR3f0047_WYG_006-42a>
　　　　　　　　　　　注曰若平行斜方形而等
　　　　　　　　　　　角亦同此論如上圗
　　以上二題即筭家句股法三數筭法所頼也
　第十七題(二/支)
三直線為連比例即首尾兩線矩内直角形與中線上
　直角方形等首尾線矩内直角形與中線上直角方
　形等即三線為連比例
　先解曰甲乙戊己乙丙三線為連比例者甲乙與戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-42b>
　　　　　　己若戊己與乙丙也而甲乙丙丁為甲
　　　　　　乙乙丙首尾線矩内直角形戊己
　　　　　　庚辛為戊己上直角方形題言甲丙戊
　　　　　　庚兩形等
　論曰試作己庚線與戊己等即甲乙乙丙己庚戊己
　為比例等等者謂甲乙與戊己若己庚與乙丙也則
　戊己己庚矩内直角形(即戊己上/直角方形)與甲乙乙丙首尾
　線矩内之甲丙形等矣(本篇/十六)
<pb:KR3f0047_WYG_006-43a>
　後解曰甲丙直角形與戊庚直角方形等題言甲乙
　與戊己之比例若戊己與乙丙
　論曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙與戊己之比例
　若己庚與乙丙也(本篇/十六)而己庚與乙丙亦若等己庚
　之戊己與乙丙(五卷/七)則甲乙與戊己若戊己與乙丙
　矣
　　　　　　　　　　　注曰若平行斜方形而等
　　　　　　　　　　　角亦同此論如上圗
<pb:KR3f0047_WYG_006-43b>
　系凡直線上直角方形與他兩線所作矩内直角形
　等即此線為他兩線之中率何者依上後論甲乙乙
　丙矩内直角形與戊己上直角方形等即可推甲乙
　與戊己若戊己與乙丙而戊己為甲乙乙丙之中率
　故
　第十八題
直線上求作直線形與所設直線形相似而體勢等
　法曰如甲乙線上求作直線形與所設丙丁戊己庚
<pb:KR3f0047_WYG_006-44a>
　　　　　形相似而體勢等先于設形任從一角向
　　　　　各對角各作直線而分本形為若干角形
　　　　　如上設形則從己向丙向丁作兩直線而
　　　　　分為丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也
　次于元線上作乙甲壬甲乙壬兩角與丁丙己丙丁
　己兩角各等其甲壬乙壬兩線遇于壬即甲壬乙與
　丙己丁兩角亦等而甲壬乙與丙己丁兩形為等角
　形矣(一卷/卅二)次作乙壬辛壬乙辛兩角與丁己戊己丁
<pb:KR3f0047_WYG_006-44b>
　戊兩角各等其壬辛乙辛兩線遇于辛即乙辛壬與
　丁戊己兩角亦等而乙壬辛與丁己戊兩形為等角
　形矣末依上作甲壬癸與丙己庚亦為等角形即甲
　乙辛壬癸與丙丁戊己庚兩形等角則相似而體勢
　等凡設多角形俱倣此
　論曰壬甲乙角與己丙丁角既等而壬甲癸角與己
　丙庚角又等即乙甲癸全角與丁丙庚全角等依顯
　甲乙辛與丙丁戊兩全角亦等而其餘各全角俱等
<pb:KR3f0047_WYG_006-45a>
　則甲乙辛壬癸與丙丁戊己庚為等角形矣又甲乙
　　　　　與乙壬之比例既若丙丁與丁己而乙壬
　　　　　與乙辛亦若丁己與丁戊(本篇/四)平之即甲
　　　　　乙與乙辛亦若丙丁與丁戊也(五卷/廿二)則甲
　　　　　乙辛丙丁戊兩等角旁各兩邊之比例等
　也而辛戊兩等角旁各兩邊之比例亦等也(兩形等角/即等角旁)
　(各兩邊之比例/等見本篇四)又辛壬與壬乙之比例既若戊己與己
　丁而壬乙與壬甲亦若己丁與己丙壬甲與壬癸亦若
<pb:KR3f0047_WYG_006-45b>
　己丙與己庚平之即辛壬與壬癸亦若戊己與巳庚
　也(五卷/廿二)則辛壬癸戊己庚兩等角旁各兩邊之比例
　等也依顯餘角俱如是則兩形為等角形而各等角
　旁各兩邊之比例俱等是兩形相似而體勢等
　　　　　注曰凡線上形相當之各角等即形相似
　　　　　而體勢等如上甲乙丙丁戊己兩角形其
　　　　　乙丙戊己線上之乙角丙角與戊角己角
　　　　　相當相等者是也若兩形在乙丙丁戊兩
<pb:KR3f0047_WYG_006-46a>
　　　　　　線上則雖相似而體勢不等又如上甲
　　　　　　丙戊庚兩直角形其甲丁與丁丙之比
　　　　　　例若戊辛與辛庚而餘邉之比例俱等
　　　　　　亦形相似而體勢等若甲丙壬庚兩直
　　　　　　　　角形雖角旁比例等而在丁丙庚
　　　　　　　　辛線上不相當則體勢不等
　　　　　　　　増作本題别有一簡法如設甲乙
　　　　　　　　丙丁戊己直線形求于庚線上作
<pb:KR3f0047_WYG_006-46b>
　　直線形與相似而體勢等先于甲角旁之甲乙甲
　　己兩線任引出之為甲辛甲丑次從甲向各角各
　　任作直線為甲壬甲癸甲子次于甲乙線上截取
　　甲辛與庚線末從辛作辛壬線與乙丙平行作壬
　　癸與丙丁癸子與丁戊子丑與戊己各平行即所
　　求
　　論曰兩形之甲角既同甲乙丙甲己戊兩角與甲
　　辛壬甲丑子兩角各等(一卷/廿九)而甲丙乙甲丙丁兩
<pb:KR3f0047_WYG_006-47a>
　　角與甲壬辛甲壬癸兩角各等即乙丙丁與辛壬
　　癸兩全角亦等依顯丙丁戊丁戊己與壬癸子癸
　　子丑各全角各等則甲乙丙丁戊己與甲辛壬癸
　　子丑兩直線形為等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲
　　癸子甲子丑四三角形與甲乙丙甲丙丁甲丁戊
　　甲戊己四三角形各相似(本篇四/之系)即甲乙與乙丙
　　之比例若甲辛與辛壬也而乙丙與丙甲若辛壬
　　與壬甲也丙甲與丙丁若壬甲與壬癸也平之則
<pb:KR3f0047_WYG_006-47b>
　　乙丙與丙丁亦若辛壬與壬癸也依顯餘邉俱如
　　是則兩形相似而體勢等也
　第十九題
相似三角形之比例為其相似邉再加之比例
　解曰如甲乙丙丁戊己兩角形等角其乙與戊丙與
　己相當之角各等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與
　戊己題言兩形之比例為乙丙與戊己兩邉再加之
　比例
<pb:KR3f0047_WYG_006-48a>
　　　　　先論曰若兩角形等即乙丙與戊己兩邉
　　　　　亦等而各兩等邉為相同之比例即兩形
　　　　　亦相同之比例就令作再加之比例亦未
　　　　　免為相同之比例則相等之兩形即可為
　兩等邉再加之比例矣
　後論曰若乙丙邉大于戊己邉即于乙丙線上截取
　乙庚為連比例之第三率令乙丙與戊己之比例若
　戊己與乙庚也(本篇/十一)次作甲庚直線其甲乙與乙丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-48b>
　　　　　之比例若丁戊與戊己更之即甲乙與丁
　　　　　戊若乙丙與戊己也而乙丙與戊己若戊
　　　　　己與乙庚則甲乙與丁戊若戊己與乙庚
　　　　　也夫甲乙庚與丁戊己兩角形有乙戊兩
　等角而各兩旁之兩邉又互相視(本篇/十五)即兩形等則
　甲乙丙形與丁戊己形之比例若甲乙丙形與甲乙
　庚形矣(五卷/七)又甲乙丙與甲乙庚兩等髙角形之比
　例若乙丙底與乙庚底(本篇/一)則甲乙丙形與丁戊己
<pb:KR3f0047_WYG_006-49a>
　　　　　形之比例亦若乙丙底與乙庚底也既乙
　　　　　丙戊己乙庚三線為連比例則一乙丙與
　　　　　三乙庚之比例為一乙丙與二戊己再加
　　　　　之比例矣是甲乙丙與丁戊己兩形之比
　　　例為乙丙與戊己再加之比例也
　　　系依本題可顯凡三直線為連比例即第一線
　　　上角形與第二線上角形之比例若第一線與
　　　第三線之比例如上甲乙丙三直線為連比例
<pb:KR3f0047_WYG_006-49b>
　其甲與乙上各有角形相似而體勢等則一甲線與
　三丙線之比例若甲形與乙形也何者甲線與丙線
　之比例為甲線與乙線再加之比例而甲形與乙形
　之比例亦甲線與乙線再加之比例則甲形與乙形
　之比例若甲線與丙線矣依顯二乙上角形與三丙
　上角形相似而體勢等則二乙形與三丙形之比例若
　一甲線與三丙線
　第二十題(三/支)
<pb:KR3f0047_WYG_006-50a>
以三角形分相似之多邉直線形則分數必等而相當
　之各三角形各相似其各相當兩三角形之比例若
　兩元形之比例其元形之比例為兩相似邉再加之
　比例
　先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸兩多邉直線
　形其乙甲戊庚己癸兩角等餘相當之各角俱等而
　　　　　各等角旁各兩邉之比例各等題先言各
　　　　　以角形分之其角形之分數必等而相當
<pb:KR3f0047_WYG_006-50b>
　　　　　之各角形各相似
　　　　　論曰試從乙甲戊庚己癸兩角向各對角
　　　　　俱作直線為甲丙甲丁己辛己壬其元形
　既相似即角數等而所分角形之數亦等又乙角既
　與庚角等而角旁各兩邉之比例亦等即甲乙丙與
　己庚辛兩角形必相似(本篇/六)乙甲丙與庚己辛兩角
　甲丙乙與己辛庚兩角各等而各等角旁各兩邉之
　比例各等(本篇/四)依顯甲戊丁己癸壬兩角形亦相似
<pb:KR3f0047_WYG_006-51a>
　又甲丙與丙乙之比例既若己辛與辛庚而丙乙與
　丙丁若辛庚與辛壬(兩元形/相似故)平之即甲丙與丙丁若
　己辛與辛壬也(五卷/廿二)又乙丙丁角既與庚辛壬角等
　而各減一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙
　丁角與己辛壬角必等則甲丙丁與己辛壬兩角形
　亦等角形亦相似矣(本篇/六)
　次解曰題又言各相當角形之比例若兩元形之比
　例
<pb:KR3f0047_WYG_006-51b>
　論曰甲乙丙己庚辛兩角形既相似即兩形之比例
　為甲丙己辛兩相似邉再加之比例(本篇/十九)依顯甲丙
　丁己辛壬之比例亦為甲丙己辛再加之比例則甲
　　　　　乙丙與己庚辛兩角形之比例若甲丙丁
　　　　　與己辛壬兩角形之比例依顯甲丁戊與
　　　　　己壬癸之比例亦若甲丙丁與己辛壬之
　　　　　比例則此形中諸角形之比例若彼形中
　　　　　諸角形之比例此諸形為前率彼諸形為
<pb:KR3f0047_WYG_006-52a>
　後率而一前與一後之比例又若并前與并後之比
　例(五卷/十二)即此一角形與相當彼一角形之比例若此
　元形與彼元形之比例矣
　後解曰題又言兩多邉元形之比例為兩相似邉再
　加之比例
　論曰甲乙丙與己庚辛兩角形之比例既若甲乙丙
　丁戊與己庚辛壬癸兩多邉形之比例而甲乙丙與
　己庚辛兩形之比例為甲乙己庚兩相似邉再加之
<pb:KR3f0047_WYG_006-52b>
　比例(本篇/十九)則兩元形亦為甲乙己庚再加之比例
　　増題此直線倍大于彼直線則此線上方形與彼
　　線上方形為四倍大之比例若此方形與彼方形
　　為四倍大之比例則此方形邉與彼方形邉為二
　　倍大之比例
　　　　　先解曰甲線倍乙線題言甲上方形與乙
　　　　　上方形為四倍大之比例
　　　　　論曰凡直角方形俱相似(本卷界/說一)依本題
<pb:KR3f0047_WYG_006-53a>
　　論則甲方形與乙方形之比例為甲線與乙線再
　　加之比例甲線與乙線既為倍大之比例則兩方
　　　　　形為四倍大之比例矣何者四倍大之比
　　　　　例為二倍大再加之比例若一二四為連
　　　　　比例故也
　　後解曰若甲上方形與乙上方形為四倍大之比
　　例題言甲邉與乙邉為二倍大之比例
　　論曰兩方形四倍大之比例既為兩邉再加之比
<pb:KR3f0047_WYG_006-53b>
　　　　　例則甲邉二倍大于乙邉
　　　　　系依此題可顯三直線為連比例如甲乙
　　　　　丙則第一線上多邉形與第二線上相似
　　　　　多邉形之比例若第一線與第三線之比
　　例
　　此系與本篇第十九題之系同論
　第二十一題
兩直線形各與他直線形相似則自相似
<pb:KR3f0047_WYG_006-54a>
　　　　解曰甲乙丙丁戊己兩直線形各與庚辛壬
　　　　形相似題言兩形亦自相似
　　　　論曰甲乙丙形之各角既與庚辛壬形之各
　　　　角等而丁戊己形之各角亦與庚辛壬形之
　　　　各角等即兩形之各角自相等(公/論)兩形之各
　　　　角既等則甲乙丙形與庚辛壬形各等角旁
　　　　各邉之比例等(五卷/十一)而丁戊己形與庚壬辛
　　　　形各等角旁各邉之比例亦等也是甲乙丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-54b>
　形與丁戊己形各等角旁各邉之比例亦等也各角
　既等各邉之比例又等即兩形定相似矣(本卷界/說一)
　第二十二題(二/支)
四直線為斷比例則兩比例線上各任作自相似之直
　線形亦為斷比例兩比例線上各任作自相似之直
　線形為斷比例則四直線為斷比例
　先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直線為斷比例者甲
　乙與丙丁若戊己與庚辛也今于甲乙丙丁上各任
<pb:KR3f0047_WYG_006-55a>
　　　　　　　作直線形自相似如甲乙壬丙丁癸
　　　　　　　于戊己庚辛上各任作直線形自相
　　　　　　　似如戊己丑子庚辛卯寅題言四形
　　　　　　　亦為斷比例者謂甲乙壬與丙丁癸
　　　　　　　若戊丑與庚卯也
　　　　　　　論曰試以甲乙丙丁兩線求其連比
　例之末率線為辰(本篇/十一)次以戊己庚辛兩線求其連
　比例之末率線為己平之即甲乙與辰之比例若戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-55b>
　己與己也(五卷/廿二)夫甲乙壬與丙丁癸兩相似形之比
　例若甲乙線與辰線(本篇十九/及廿之系)而戊丑與庚卯兩相
　　　　　　似形之比例若戊己線與己線則甲乙
　　　　　　壬與丙丁癸之比例亦若戊丑與庚卯
　　　　　　矣(五卷/十一)
　　　　　　後解曰如前四形為斷比例題言甲乙
　　　　　　丙丁戊己庚辛四線亦為斷比例
　　　　　　論曰試以甲乙丙丁戊己三線求其斷
<pb:KR3f0047_WYG_006-56a>
　比例之末率線為午未(本篇/十二)次于午未上作直線形
　與戊丑相似而體勢等為午未酉申(本篇/十八)午酉與戊
　丑相似即與庚卯亦相似而甲乙與丙丁之比例既
　若戊己與午未依上論即甲乙壬與丙丁癸兩形之
　比例若戊丑與午酉矣夫甲乙壬與丙丁癸之比例
　元若戊丑與庚卯則戊丑與午酉亦若戊丑與庚卯
　也(五卷/十一)而午酉與庚卯等也(五卷/九)午酉與庚卯既等
　又相似而體勢等即兩形必在等線之上而庚辛與午
<pb:KR3f0047_WYG_006-56b>
　未必等(見下方/補論)則戊己與午未之比例若戊己與庚
　辛也而戊己與午未元若甲乙與丙丁則甲乙與丙
　丁亦若戊己與庚辛也
　補論曰庚卯午酉兩直線形相等相似而體勢等即
　在等線之上者何也盖庚辛與午未若云不等者或
　言庚辛大于午未也則辛卯宜亦大于未酉矣(五卷/十四)
　而庚卯形宜亦大于午酉形矣何先設兩形等也言
　小倣此(補論者前此未著而論中無他/論可徴故别作一論以足未備)
<pb:KR3f0047_WYG_006-57a>
　　　　又補論曰甲乙丙丁戊己兩直線形相等相
　　　　似而體勢等即相似邉如甲乙與丁戊必等
　　　　者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也
　　　　即令以甲乙丁戊兩線求其連比例之末率
　　　　線為庚(本篇/十一)其甲乙與丁戊既若丁戊與庚
　而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大
　于庚矣然甲乙與庚之比例若甲乙丙形與丁戊己
　形(本篇十九/及廿之系)甲乙既大于庚則甲乙丙宜大于丁戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-57b>
　己何先設兩形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小
　倣此
　増論曰本題别有簡論今先顯四線之比例等而甲
　　　　　　　乙壬與丙丁癸兩形之比例若戊丑
　　　　　　　與庚卯兩形者盖甲乙與丙丁之比
　　　　　　　例若戊己與庚辛而甲乙壬與丙丁
　　　　　　　癸之比例為甲乙與丙丁再加之比
　例(本篇/十九)戊丑與庚卯之比例亦為戊己與庚辛再加
<pb:KR3f0047_WYG_006-58a>
　　之比例是甲乙壬與丙丁癸若戊丑與庚卯也
　　次増論曰今顯四形之比例等而甲乙與丙丁兩
　　線之比例若戊己與庚辛兩線者盖甲乙壬與丙
　　丁癸之比例若戊丑與庚卯而甲乙壬與丙丁癸
　　之比例為甲乙與丙丁再加之比例若戊丑與庚
　　卯為戊己與庚辛再加之比例(本篇/十九)則甲乙與丙
　　丁之比例若戊己與庚辛矣
　第二十三題
<pb:KR3f0047_WYG_006-58b>
等角兩平行方形之比例以兩形之各兩邊兩比例相結
　　　　　　解曰甲丙丙己兩平行方形之乙丙
　　　　　　丁戊丙庚兩角等題言兩形之比例以
　　　　　　各等角旁各兩邉之比例相結者謂兩
　　　　　　比例之前率在此形兩比例之後率在
　彼形如甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙
　與丙戊相結也或以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相
　結也
<pb:KR3f0047_WYG_006-59a>
　論曰試以兩等相聨于丙而乙丙丙庚作一直線其
　乙丙丁角既與戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直線
　(一卷十/五増)次于甲丁己庚各引長之遇于辛次任作一
　壬線次以乙丙丙庚壬三線求其斷比例之末率線
　為癸(本篇/十二)末以丁丙丙戊癸三線求其斷比例之末
　率線為子其乙丙與丙庚兩底之比例既若甲丙與
　丙辛兩形(本篇/一)而乙丙與丙庚亦若壬與癸則甲丙
　與丙辛亦若壬與癸也(五卷/十一)依顯丙辛與丙己亦若
<pb:KR3f0047_WYG_006-59b>
　癸與子也平之即甲丙與丙己若壬與子也(五卷/廿二)夫
　壬與子之比例元以壬與癸癸與子兩比例相結(本/卷)
　(界說/五)而壬與癸癸與子元若乙丙與丙庚丁丙與丙
　　　　　　戊則甲丙與丙己之比例以乙丙與丙
　　　　　　庚偕丁丙與丙戊兩比例相結也其以
　　　　　　乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結則先
　　　　　　以乙丙丙戊為一直線可依上推顯
　　後注曰此不同理之比例也兩形不相似(本篇/十九)又
<pb:KR3f0047_WYG_006-60a>
　　不相等之形也等角旁各兩邉不互相視(本篇/十四)故
　　必用相結之理必須借象之術其法假虚形實所
　　以通比例之窮也以數明之乙丙六十丙庚二十
　　壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子
　　二即甲丙之實二千四百與丙己之實一千六百
　　若壬三與子二為等帶半之比例也其曰壬與癸
　　癸與子兩比例相結者壬三倍大于癸癸反二倍
　　大于子(反二倍者癸/得子之半)三乗半得一五則壬與子為
<pb:KR3f0047_WYG_006-60b>
　　等帶半之比例也其曰借象者乙丙與丙庚丁丙與
　　丙戊二比例既不同理又異中率故借壬與癸癸與
　　子同中率而不同理之二比例以為象(本卷界/說五)初作
　　壬與癸若乙丙與丙庚次作癸與子若丁丙與丙戊
　　(本篇/十二)則癸為前率之後又為後率之前是為壬子首
　　尾兩率之樞紐令相象之丙庚丁丙亦化兩率為一
　　率為乙丙丙戊首尾兩率之樞紐因以兩比例相
　　結為首尾兩率之比例雖不能使三率為同理之
<pb:KR3f0047_WYG_006-61a>
　　兩比例而合為一連比例亦能使兩不同理之比
　　例首尾合而為一比例矣自三以上可倣此相借
　　以至無窮也(本卷界/說五)
　第二十四題
平行線方形之兩角線方形自相似亦與全形相似
　　　　　解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙對角線
　　　　　任作戊己庚辛兩線與丁丙乙丙平行而
　　　　　與對角線交相遇于壬題言戊庚己辛兩
<pb:KR3f0047_WYG_006-61b>
　角線方形自相似亦與全形相似
　論曰試依一卷廿九題推顯兩角線形等角又庚甲
　戊與乙甲丁同角而甲戊壬外角與甲丁丙内角等
　甲庚壬外角與甲乙丙内角等戊壬庚外角與乙己
　壬内角等乙己壬外角又與乙丙丁内角等則戊庚
　形與甲丙全形等角矣依顯己辛形亦與全形等角
　矣今欲顯兩形與全形相似者試觀甲庚壬與甲乙
　丙兩角形甲戊壬與甲丁丙兩角形既各等角(一卷/廿九)
<pb:KR3f0047_WYG_006-62a>
　(可推仍見本/篇四之系)即甲乙與乙丙之比例若甲庚與庚壬
　而庚乙兩角旁各兩邊之比例等也(六卷/四)又乙丙與
　丙甲之比例若庚壬與壬甲丙甲與丙丁之比例若
　壬甲與壬戊平之即乙丙與丙丁若庚壬與壬戊也(五卷/廿二)
　則乙丙丁庚壬戊兩角旁各兩邊之比例等也依顯各
　角旁各両邊之比例皆等是兩角線方形自相似亦
　與全形相似
　第二十五題
<pb:KR3f0047_WYG_006-62b>
兩直線形求作他直線形與一形相似與一形相等
　　　　　　法曰甲乙兩直線形求作他直線形與
　　　　　　甲相似與乙相等先于求相似之甲形
　　　　　　任取一邊如丙丁于丙丁邊上作平行
　　　　　　方形與甲等為丙戊(一卷四/四四五)次于丁戊
　　　　　　邊上作平行方形與乙等而戊丁庚角
　與丁丙己角等為丁辛其丙丁庚己戊辛俱為直線
　也(一卷四/五可推)次作一壬癸線為丙丁丁庚之中率(本篇/十三)
<pb:KR3f0047_WYG_006-63a>
　末于壬癸上作子形與甲相似而體勢等(本篇/十八)即子
　形與乙等
　論曰丙丁壬癸丁庚三線既為連比例即依本篇二
　十題之系可顯一丙丁與三丁庚之比例若一丙丁
　上之甲與二壬癸上之子兩形相似而體勢等者之
　比例也又丙丁與丁庚之比例若丙戊與丁辛兩等
　髙平行方形之比例也(本篇/一)則丙戊與丁辛若甲與
　子矣夫丙戊與丁辛元若甲與乙也(丙戊與甲等/丁辛與乙等)則
<pb:KR3f0047_WYG_006-63b>
　甲與乙之比例若甲與子也(五卷/十一)而乙形與子形等
　矣(五卷/九)
　第二十六題
平行方形之内減一平行方形其減形與元形相似而
　體勢等又一角同則減形必依元形之對角線
　　　　　　解曰乙丁平行方形之内減戊庚平行
　　　　　　方形元形減形相似而體勢等又戊甲
　　　　　　庚同角題言戊庚形必依乙丁形之對
<pb:KR3f0047_WYG_006-64a>
　　　　　　角線
　　　　　　論曰試作甲己己丙對角兩線若兩線
　　　　　　為一直線即顯戊庚形依甲丙對角線
　　　　　　矣如云甲己己丙非一直線令别作元
　形之對角線而分戊己邉于辛即作辛壬線與己庚
　平行其乙丁戊壬兩平行方形既同依甲辛丙一直
　對角線則宜相似而體勢等矣(本篇/廿四)是乙甲與甲丁
　之比例宜若戊甲與甲壬也夫乙甲與甲丁元若戊
<pb:KR3f0047_WYG_006-64b>
　甲與甲庚(元設形相似/而體勢等)今若所云則戊甲與甲庚亦
　若戊甲與甲壬矣(五卷/十一)而甲壬分與甲庚全亦等矣
　(五卷/九)可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬與
　己戊平行依前論駁之
　第二十七題
凡依直線之有闕平行方形不滿線者其闕形與半線
　上之闕形相似而體勢等則半線上似闕形之有闕
　依形必大于此有闕依形
<pb:KR3f0047_WYG_006-65a>
　　　　　解曰甲乙線平分于丙于半線丙乙上任
　　　　　作丙丁戊乙平行方形其對角線乙丁次
　　　　　作甲乙戊辛滿元線平行方形即甲丁為
　　　　　甲丙半線上之有闕依形丙戊為丙乙半
　線上之闕形(本卷界/說六)此兩形相等相似勢體又等題
　言甲乙線上凡作有闕依形不滿線者其闕形與丙
　戊相似而體勢等即甲丙半線上之甲丁有闕依形
　必大于此有闕依形
<pb:KR3f0047_WYG_006-65b>
　論曰試于乙丁對角線上任取一㸃為庚從庚作己
　庚壬線庚癸線與甲乙乙戊各平行即得甲庚為依
　甲乙元線之有闕平行方形而癸壬為其闕形此癸
　壬闕形既依乙丁對角線則與丙戊闕形相似而體
　勢等(本篇/廿四)夫丙庚庚戊兩餘方形既等(一卷/四三)若每加
　一癸壬角線方形即丙壬與癸戊亦等也又丙壬與
　丙己俱在兩平行線内底等即兩形等(一卷/三六)而丙己
　與癸戊兩形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方
<pb:KR3f0047_WYG_006-66a>
　形與子丑磬折形亦等也丙戊平行方形凾子丑磬
　折形之外尚有庚丁形則丙戊形必大于子丑磬折
　形而等丙戊之甲丁形(丙戊甲丁同在兩平行線/内又等底故見一卷三六)必
　大于等磬折形之甲庚形矣依顯凡依乙丁對角線
　　　　　作形與丙戊相形者其有闕依形俱小于
　　　　　甲丁也為其必有庚丁之較故也
　　　　　又論甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬兩平
　　　　　行方形同在兩平行線内又底等即兩形
<pb:KR3f0047_WYG_006-66b>
　等(一卷/卅六)而庚戊為丁壬之分則丁壬大于庚戊較餘
　一庚丁形其大于丙庚亦如之(庚戊丙庚兩餘方形/等故見一卷四三)
　即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦較餘一庚丁形
　也次每加一丙己形則甲丁必大于甲庚矣
　　　　　又解曰若庚㸃在丙戊形外即引乙丁對
　　　　　角線至庚從庚作辛丑線與癸戊平行次
　　　　　引甲癸線至辛引乙戊線至丑而與辛丑
　　　　　線遇于辛于丑末作庚己線與辛甲平行
<pb:KR3f0047_WYG_006-67a>
　即得甲庚為依甲乙元線之有闕平行方形又得己
　丑與丙戊相似而體勢等者(兩形同依乙庚對角/線故見本篇廿四)為
　其闕形也題言甲丁形亦大于甲庚形
　論曰試于丙丁線引出之至子即辛子子丑兩線等
　(一卷/卅四)而辛丁丁丑兩形亦等(一卷/卅六)其丁丑己丁兩餘
　方形既等即己丁與辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既
　較餘一庚丁形則己丁之大于辛壬亦較餘一庚丁
　形也此兩率者每加一甲壬平行方形則甲丁大于
<pb:KR3f0047_WYG_006-67b>
　甲庚者亦較餘一庚丁形矣依顯凡乙丁對角線引
　出丙戊形外依而作形與丙戊相似者其有闕依形
　俱小于甲丁也為其必有庚丁之較故也
　第二十八題
一直線求作依線之有闕平行方形與所設直線形等
　而其闕形與所設平行方形相似其所設直線形不
　大于半線上所作平行方形與所設平行方形相似
　者
<pb:KR3f0047_WYG_006-68a>
　法曰甲乙線求作依線之有闕平行方形與所設直
　線形丙等而其闕形與所設平行方形丁相似先以
　　　　　　　甲乙線兩平分于戊次于戊乙半線
　　　　　　　上作戊己庚乙平行方形與丁相似
　　　　　　　而體勢等(本篇/十八)次作甲辛庚乙滿元
　　　　　　　線平行方形若甲己平行方形與丙
　　　　　　　等者(本篇/廿五)即得所求矣若甲己大于
　　　　　　　丙者(題言甲己小即不/可作見本篇廿七)即等甲己之
<pb:KR3f0047_WYG_006-68b>
　戊庚亦大于丙也則尋戊庚之大于丙幾何假令其
　較為壬(兩直線形不等相減之/較法見一卷四五増)即作癸子丑寅平行
　方形與壬等又與戊庚形相似而體勢(本篇/廿五)則戊庚
　平行方形與丙直線形及癸丑平行方形并等而戊
　庚必大于癸丑矣夫戊庚與癸丑既相似即戊己與巳
　庚兩邊之比例若寅癸與癸子也而戊庚既大于癸
　丑即戊己己庚兩邉亦大于寅癸癸子也次截取己巳
　己卯與癸子癸寅等而作己己辰卯平行方形必與
<pb:KR3f0047_WYG_006-69a>
　　　　　　　癸丑形相等相似而體勢等矣又卯
　　　　　　　己形既與戊庚相似而體勢等必同
　　　　　　　依乙己對角線也(本篇/廿六)次于己辰線
　　　　　　　引出抵甲乙元線于卯辰兩界各引
　　　　　　　出作午未線即甲辰為依甲乙線之
　　　　　　　有闕平行方形與丙等而其闕形乙
　辰與戊庚相似(本篇/廿四)即亦與丁相似
　論曰辰庚與辰戊兩餘方形既等(一卷/四三)每加一乙辰
<pb:KR3f0047_WYG_006-69b>
　角線方形即乙己與戊午亦等而與等戊午之戊未
　亦等(戊午戊未同在平行線内/又底等故見一卷卅六)乙己與戊未既等又
　每加一申辰方形即甲辰平行方形與申酉罄折形
　亦等矣夫申酉罄折形為戊庚形之分而戊庚與丙
　及癸丑等戊庚所截去之卯己又與癸丑等則申酉
　罄折形與丙等也而甲辰亦與丙等也
　第二十九題
一直線求作依線之帶餘平行方形與所設直線形等
<pb:KR3f0047_WYG_006-70a>
　而其餘形與所設平行方形相似
　　　　　　　法曰甲乙線求作依線之帶餘平行
　　　　　　　方形與所設直線形丙等而其餘形
　　　　　　　與所設平行方形丁相似先以甲乙
　　　　　　　線兩平分于戊次于戊乙半線上作
　　　　　　　戊己庚乙平行方形與丁相似而體
　　　　　　　勢等(本篇/十八)次别作一平行方形與丙及
　戊庚并等為辛(二卷/十四)次别作一平行方形與辛等又
<pb:KR3f0047_WYG_006-70b>
　與丁相似而體勢等為壬癸子丑(本篇/廿五)其丑癸既與
　辛等即大于戊庚而丑癸既與戊庚相似即丑壬與
　壬癸兩邉之比例若戊己與己庚也而丑壬與壬癸
　兩線必大於戊巳與巳庚也(若等或小即丑/癸不大於戊庚)次於巳
　戊引之至卯與壬丑等於巳庚引之至寅與壬癸等
　而作卯寅平行方形即卯寅與丑癸同依辰巳對角
　線而等(本篇/廿六)又與戊庚相似而體勢等矣次于甲乙
　引之至巳庚乙引之至午於午卯引之至未末作甲
<pb:KR3f0047_WYG_006-71a>
　未線與己卯平行即得甲辰帶餘平行方形依甲乙
　線與丙等而己午為其餘形與戊庚形相似而體勢
　等(本篇/廿四)即與丁相似而體勢等
　論曰甲卯戊午兩形既等(一卷/卅六)戊午與乙寅兩餘方
　形又等(一卷/四三)則甲卯與乙寅亦等矣而每加一卯己
　形則甲辰平行方形與戊辰寅罄折形亦等矣夫戊
　辰寅罄折形元與丙等(丑癸即卯寅與丙及戊庚并/等每减一戊庚即罄折形與)
　(丙/等)即甲辰亦與丙等
<pb:KR3f0047_WYG_006-71b>
　第三十題
一直線求作理分中末線
　　　　　法曰甲乙線求理分中末先于元線作甲
　　　　　乙丙丁直角方形次依丁甲邉作丁己帶
　餘平行方形與甲丙直角方形等而甲己為其餘形
　又與甲丙形相似(本篇/廿九)即甲己亦直角方形矣(惟直/角方)
　(形恒與直角/方形相似)則戊己線分甲乙于辛為理分中末線
　也(本卷界/說三)
<pb:KR3f0047_WYG_006-72a>
　論曰丁己與甲丙兩形既等每減一甲戊形即所存
　甲己辛丙兩形亦等矣此兩形之甲辛己戊辛乙兩
　角既等(兩皆直/角故)即兩角旁之各兩邉線為互相視之
　線也(本篇/十四)而等戊辛之甲乙線與等辛己之甲辛線
　其為比例若甲辛與辛乙也是甲辛乙線為理分中
　末也
　又論曰甲乙甲辛辛乙凡三線而第一第三矩内之
　辛丙直角形與第二甲辛上直角方形等即三線為
<pb:KR3f0047_WYG_006-72b>
　連比例(本篇/十七)而甲乙與甲辛若甲辛與辛乙矣
　　　又法曰甲乙線求分于丙而甲乙偕丙乙矩内
　　　直角形與甲丙上直角方形等(二卷/十一)即甲乙之
　　　分于丙為理分中末線盖甲乙甲丙丙乙三線
　為連比例故(本篇/廿七)
　第三十一題
三邉直角形之對直角邉上一形與直角旁邉上兩形
　若相似而體勢等則一形與兩形并等
<pb:KR3f0047_WYG_006-73a>
　　　　　　解曰甲乙丙三邉直角形乙甲丙為直
　　　　　　角于乙丙上任作直線形為乙丙丁戊
　　　　　　次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙
　　　　　　壬辛兩形與乙丁形相似而體勢等(本/篇)
　(十/八)題言乙丁形與乙庚丙辛兩形并等
　論曰試從甲作甲癸為乙丙之垂線依本篇第八題
　之系即乙丙與丙甲兩邉之比例若丙甲與丙癸兩
　邉則一乙丙邉與三丙癸邉之比例若一乙丙上之
<pb:KR3f0047_WYG_006-73b>
　乙丁形與二甲丙上之丙辛形也(本篇十九或/二十之系)反之
　則丙癸與乙丙兩邉之比例若丙辛與乙丁兩形也
　依顯乙癸與乙丙兩邉之比例若乙庚與乙丁兩形
　也(乙丙乙甲乙癸三邉為連/比例故見本篇八之系)夫一丙癸與二乙丙之
　比例既若三丙辛與四乙丁而五乙癸與二乙丙之
　比例亦若六乙庚與四乙丁則一丙癸五乙癸并與
　二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并與四乙丁也既
　一丙癸五乙癸并與二乙丙等則三丙辛六乙庚并
<pb:KR3f0047_WYG_006-74a>
　與四乙丁亦等(五卷/廿四)
　　　　　　又論曰甲乙丙與癸甲丙兩角形既相
　　　　　　似而甲乙丙角形其乙丙與丙甲之比
　　　　　　例若癸甲丙角形之丙甲與丙癸(本篇/八)
　　　　　　即乙丙與丙甲兩邉相似則癸甲丙與
　甲乙丙兩角形之比例為丙甲與乙丙再加之比例
　(本篇/十九)而丙辛與乙丁兩形之比例亦為丙甲與乙丙
　再加之比例(本篇十/九二十)則癸甲丙與甲乙丙兩角形之
<pb:KR3f0047_WYG_006-74b>
　比例若丙辛與乙丁兩形也(五卷/十一)依顯癸乙甲與甲
　乙丙兩角形之比例若乙庚與乙丁兩形也是一甲
　癸丙與二甲乙丙之比例若三丙辛與四乙丁也而
　五癸乙甲與二甲乙丙之比例若六乙庚與四乙丁
　也即一甲癸丙五癸乙甲并與二甲乙丙之比例若
　三丙辛六乙庚并與四乙丁也(五卷/廿四)既一甲癸丙五
　癸乙甲并與二甲乙丙等則三丙辛六乙庚并與四
　乙丁亦等
<pb:KR3f0047_WYG_006-75a>
　又論曰一甲丙上直角方形與二乙丙上直角方形
　之比例若三丙辛形與四乙丁形(此兩率之比例皆/甲丙與乙丙再加)
　(之比例見本/篇十九二十)又五甲乙上直角方形與二乙丙上直
　角方形之比例若六乙庚形與四乙丁形即一甲丙
　上五甲乙上兩直角方形并與二乙丙上直角方形
　　　　　　之比例若三丙辛六乙庚兩形并與四
　　　　　　乙丁形(五卷/廿四)旣甲丙甲乙上兩直角方
　　　　　　形并與乙丙上直角方形等(一卷/四十)則丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-75b>
　辛乙庚兩形并與乙丁形等
　　増題角形之一邉上一形與餘兩邉上兩形相似
　　而體勢等者其一形與兩形并等則餘兩邉内角
　　必直角
　　解曰甲乙丙角形于乙丙上任作一直線形與甲
　　乙甲丙上兩形相似而體勢等其一形與兩形并
　　等題言乙甲丙必直角
　　論曰試作甲丁為甲丙之垂線與甲乙等次作丁
<pb:KR3f0047_WYG_006-76a>
　　丙線其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形與乙
　　丙上形相似其丁丙上形與丁甲甲丙上相似而
　　體勢等之兩形并等矣(本/題)又甲丁與甲乙等其上
　　兩形亦等即丁丙上形與甲乙甲丙上兩形并亦
　　等而乙丙上形元與甲乙甲丙上兩形并等則丁
　　丙乙丙上兩形亦等而丁丙與乙丙兩線亦等(本/篇)
　　(廿二/補論)夫甲丙丁角形之甲丁與甲乙丙角形之甲
　　乙等甲丙同邉其底乙丙丁丙又等即丁甲丙與
<pb:KR3f0047_WYG_006-76b>
　　乙甲丙兩角必等丁甲丙既直角則乙甲丙亦直
　　角
　第三十二題
兩三角形此形之兩邉與彼形之兩邉相似而平置兩
　　　　形成一外角若各相似之各兩邉各平行則
　　　　其餘各一邉相聨為一直線
　　　　解曰甲乙丙丁丙戊兩角形其甲乙甲丙邉
　與丁丙丁戊邉相似者謂甲乙與甲丙之比例若丁
<pb:KR3f0047_WYG_006-77a>
　丙與丁戊也試平置兩形令相切成一甲丙丁外角
　而甲乙與丁丙甲丙與丁戌各相似之兩邉各平行
　題言乙丙丙戊為一直線
　論曰甲乙與丁丙既平行即甲角與内相對之甲丙
　丁等(一卷/廿九)依顯丁角亦與内相對之甲丙丁等則甲
　丁兩角等而甲乙丙與丁丙戊兩角形之甲丁兩角
　旁各兩邉比例又等即兩形為等角形而乙角與丁
　丙戊角必等(本篇/六)次于乙角加甲角于丁丙戊角加
<pb:KR3f0047_WYG_006-77b>
　等甲之甲丙丁角即乙甲兩角并與等甲丙丁丁丙
　戊兩角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲
　乙丙形之内三角并與甲丙乙甲丙戊兩角并等夫
　甲乙丙形之内三角等兩直角(一卷/卅二)則甲丙乙甲丙
　戊并亦等兩直角而為一直線(一卷/十四)
　第三十三題(三/支)
等圜之乗圜分角或在心或在界其各相當兩乗圜角
　之比例皆若所乗兩圜分之比例而兩分圜形之比
<pb:KR3f0047_WYG_006-78a>
　例亦若所乗兩圜分之比例
　　　　　解曰甲乙丙戊己庚兩圜等其心為丁為
　　　　　辛兩圜各任割一圜分為乙丙為己庚其
　　　　　乗圜角之在心者為乙丁丙己辛庚在界
　　　　　者為乙甲丙己戊庚題先言乙丙與己庚
　　　　　兩圜分之比例若乙丁丙與己辛庚兩角
　　　　　次言乙甲丙與己戊庚兩角之比例若乙
　丙與己庚兩圜分後言乙丁丁丙兩腰偕乙丙圜分
<pb:KR3f0047_WYG_006-78b>
　内乙丁丙分圜形與己辛辛庚兩腰偕己庚圜分内
　己辛庚分圜形之比例亦若乙丙與己庚兩圜分
　先論曰試作乙丙己庚兩線次作丙壬合圜線與乙
　丙等作庚癸癸子兩合圜線各與己庚等(四卷/一)其丙
　壬既與乙丙等即乙丙與丙壬兩圜分亦等(三卷/十八)而
　乙丁丙與丙丁壬兩角亦等(三卷/廿七)依顯己庚庚癸癸
　子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等則乙丙
　壬圜分倍乙丙圜分之數如在心乙丁壬角或乙丁
<pb:KR3f0047_WYG_006-79a>
　壬内地倍乙丁丙角之數而己庚癸子圜分倍己庚
　圜分之數如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛
　庚角之數何者乙丁壬己辛子兩角或兩地内之分
　數與乙丙壬己庚癸子兩圜分内之分數各等故也
　然則乙丁壬角與地若等于己辛子角與地即乙丙
　　　　　壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦
　　　　　大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬
　　　　　三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍
<pb:KR3f0047_WYG_006-79b>
　　　　　之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等
　　　　　大小皆同類也則一乙丙與二己庚之比
　　　　　例若三乙丁丙與四己辛庚也(五卷界/說六)
　次論曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦
　倍大于己戊庚(三卷/二十)即乙丁丙與己辛庚兩角之比
　例若乙甲丙與己戊庚兩角矣(五卷/廿五)則乙甲丙與己
　戊庚在界乗圜之兩角亦若乙丙與己庚兩圜分也
　(五卷/十一)若作甲壬戊癸直線亦可用先論推顯(用地當/角說見)
<pb:KR3f0047_WYG_006-80a>
　(三卷廿/増題)
　後論曰試于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜
　分内作丙寅壬角此兩角所乗之乙甲壬丙與丙乙
　甲壬兩圜分既等(三卷/廿七)即兩角亦等而乙丑丙與丙
　寅壬兩圜小分亦相似亦相等(乙丙與丙壬兩合圜/線等故見三卷廿四)
　次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙
　丁壬兩分圜形等(一卷/四)則乙丁壬分圜形倍乙丁丙
　分圜形之數如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之數依顯
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　己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之數亦如己庚癸
　子圜分倍己庚圜分之數然則乙丙壬圜分若等于
　　　　　己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等
　　　　　于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小
　　　　　矣(五卷界/說六)是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜
　　　　　分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形
　　　　　偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛
　　　　　子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小
<pb:KR3f0047_WYG_006-81a>
　皆同類也則一乙丙圜分與二己庚圜分之比例若
　三乙丁丙分圜形與四己辛庚分圜形也(五卷界/說六)
　一系在圜心兩角之比例皆若兩分圜形
　二系在圜心角與四直角之比例若圜心角所乗圜
　分與全圜界四直角與在圜心角之比例若全圜界
　與圜心角所乗之圜分
　　丁先生言歐几里得六卷中多研察有比例之線
　　竟不及有比例之靣故因其義類増益數題用補
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　　闕如左云竇復増一題竊弁于首仍以題㫖從先
　　生舊題隨類附演以廣其用俱稱今者以别于先
　　生舊増也
　　今増題圜與圜為其徑與徑再加之比例
　　解曰甲乙丙丁戊己兩圜其徑甲丙丁己題言甲
　　　　　　　　　　乙丙與丁戊己為甲丙與丁
　　　　　　　　　　己再加之比例
　　　　　　　　　　論曰如云不然當言甲乙丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-82a>
　　　　　　　　　　圜與小于丁戊己之庚辛壬
　　　　　　　　　　圜或大于丁戊己之癸子丑
　　　　　　　　　　圜為甲丙與丁己再加之比
　　例也(五卷界說/二十増)若言庚辛壬是者試置庚辛壬圜
　　于丁戊己圜内為同心次于外圜内作丁亥戊未
　　己申酉戌多邉切形其多邉為偶數又等而全不
　　至内圜也(四卷十/六補題)次于甲乙丙圜内作甲午乙寅
　　丙卯辰己多邉切形與丁戊己圜内切形相似(四/卷)
<pb:KR3f0047_WYG_006-82b>
　　(十六補/題可推)其兩圜内兩徑上有丁亥戊未己與甲午
　　乙寅丙相似之兩多邉形則為兩相似邉再加之
　　比例也(本篇/二十)而甲丙與丁己兩線為兩形之相似
　　邉據如彼論即甲午乙寅丙與丁亥戊未己兩形
　　甲乙丙與庚辛壬兩圜同為甲丙與丁己兩線再
　　加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将
　　庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎則分大于
　　全乎若言癸子丑是者亦如前論甲午乙寅丙與
<pb:KR3f0047_WYG_006-83a>
　　丁亥戊未己兩形甲乙丙與癸子丑兩圜同為甲
　　丙與丁己兩線再加之比例也反之即癸子丑與
　　　　　　　　　　甲乙丙兩圜之比例為丁己
　　　　　　　　　　與甲丙兩徑再加之比例也
　　　　　　　　　　設他圜乾兊離令癸子丑與
　　　　　　　　　　甲乙丙之比例若丁戊己與
　　　　　　　　　　乾兊離(五卷界/說増)則丁戊己與
　　　　　　　　　　乾兊離兩圜亦宜為丁己與
<pb:KR3f0047_WYG_006-83b>
　　甲丙兩徑再加之比例也癸子丑既大于丁戊己
　　即甲乙丙亦大于乾兊離而丁戊己與小于甲乙
　　丙之乾兊離兩圜能為丁己與甲丙兩徑再加之
　　比例乎(前己駁有兩圜其第一與他圜之小于/第二者不得為元圜兩徑再加之比例)夫
　　甲乙丙不得與圜之大于丁戊己者小于丁戊己
　　者為甲丙與丁己再加之比例則止有元兩圜為
　　其元兩徑再加之比例
　　一系全圜與全圜半圜與半圜相當分與相當分
<pb:KR3f0047_WYG_006-84a>
　　任相與為比例皆等葢諸比例皆兩徑再加之比例故
　　二系三邊直角形對直角邊為徑所作圜與
　　餘兩邉為徑所作兩圜并等半圜與兩半圜并等
　　圜分與相似兩圜分并等(本篇卅/一可推)
　　三系三線為連比例以為徑所作三圜亦為連比
　　例推此可求各圜之相與為比例者又可以圜求
　　各圜之相與為比例者(本篇十九二/十之系可推)
　　一増題直線形求減所命分其所減所存各作形
<pb:KR3f0047_WYG_006-84b>
　　　　　　與所設形相似而體勢等
　　　　　　法曰如甲直線形求減三分之一其所
　　　　　　減所存各作形與所設乙形相似而體
　　　　　　勢等先作丙丁形與甲等與乙相似而
　　　　　　體勢等(本篇/廿五)次任于其一邉如丙戊上
　　作丙己戊半圜次分丙戊為三平分而取其一庚
　　戊次從庚作己庚為丙戊之垂線(本篇/九)次作己丙
　　己戊兩線末于己丙己戊上作己辛己壬兩形各
<pb:KR3f0047_WYG_006-85a>
　　與丙丁相似而體勢等(本篇/十八)即所求
　　論曰丙己戊角形既負半圜為直角(三卷/卅一)即丙丁
　　直線形與己辛己壬相似之兩形并等(本篇/卅)而于
　　等甲之丙丁形減己壬存己辛兩形各與丙丁相
　　似而體勢等則與乙相似而體勢等今欲顯己壬
　　為丙丁三分之一者試觀丙庚己丙己戊兩角形
　　既相似(本篇/八)即丙庚與庚己之比例若丙己與己
　　戊也(本篇/四)夫丙庚庚己庚戊三線為連比例即丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-85b>
　　庚與庚戊為丙庚與庚己再加之比例(本篇八/之系)而
　　己辛與己壬兩形亦為丙己與己戊兩相似邉再
　　加之比例(本篇十/九二十)即丙庚與庚戊兩線之比例若
　　己辛與己戊兩形也(兩比例為兩同理/比例之再加故)合之則丙
　　戊與庚戊之比例若等己辛己壬兩形并之丙丁
　　與己壬矣丙戊三倍于庚戊則丙丁亦三倍于己
　　壬而己壬為等甲之丙丁三分之一
　　若直線形求減之不論所減所存何形其法更易
<pb:KR3f0047_WYG_006-86a>
　　　　　　　如甲形求減三分之一先作乙丙平
　　　　　　　行線形與甲等(一卷/四一)次分乙丁為三
　　平分而取其一戊丁末從戊作己戊線與丙丁平
　　行即戊丙形為等甲之乙丙形三分之一(本篇/一)
　　今附若于大圜求减所設小圜則以圜徑當形邉
　　　　　餘法同前如上圖
　　　　　又今附依此法可方一初月形(方初月形/者謂作直)
　　　　　(角方形與/初月形等)如甲乙丙丁圜其界上有附圜
<pb:KR3f0047_WYG_006-86b>
　　四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方
　　形與初月形等先從乙丙作甲乙丙丁内切圜直
　　　　　　角方形(三卷/六)次用方形法四平分之即
　　　　　　其一為所求方形與初月形等何者甲
　　　　　　乙丙半圜與甲乙乙丙上兩半圜并等
　　(本増題/之今附)甲乙乙丙兩線自相等即其上兩半圜亦
　　自相等而庚乙壬丙分圜形為大半圜之半即與
　　乙己丙戊小半圜等此兩率者各減一同用之乙
<pb:KR3f0047_WYG_006-87a>
　　　　　　己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月
　　　　　　形與庚乙丙角形等而庚己丙辛直角
　　　　　　方形與庚乙丙角形亦等則與乙壬丙
　　戊初月形亦等依顯甲乙丙丁直角方形與大圜
　　界上四初月形并等
　　二増題兩直線形求别作一直線形為連比例
　　法曰甲與乙丙丁兩直線形求别作一直線形為
　　連比例先作一戊己庚直線形與甲等與乙丙丁
<pb:KR3f0047_WYG_006-87b>
　　　　　　相似而體勢等(本篇/廿五)次以兩形相似之
　　　　　　各一邉如戊己乙丙為前中率線而求
　　　　　　其連比例之末率線為辛壬(本篇/十一)末于
　　辛壬上作辛壬癸形與兩形相似而體勢等(本篇/十八)
　　即所求
　　論曰戊己乙丙辛壬三線既為連比例即其上三
　　形相似而體勢等者亦為連比例(本篇/廿二)
　　今附有兩圜求别作一圜為連比例則以圜徑當
<pb:KR3f0047_WYG_006-88a>
　　形邉依上法作之
　　三増題三直線形求别作一直線形為斷比例
　　法曰一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直線形求别
　　作一直線形為斷比例先作壬癸子丑形與甲等
　　與乙丁相似而體勢等(本篇/廿五)次以三形之任各一
　　邉如壬癸乙丙己庚為三率求其斷比例之末率
　　　　　　　線為寅卯(本篇/十二)末于寅卯上作寅卯
　　　　　　　辰形與己庚辛相似而體勢等(本篇/十八)
<pb:KR3f0047_WYG_006-88b>
　　　　　　　即所求
　　　　　　　論曰四線既為斷比例即其線上形
　　　　　　　相似而體勢等者亦為斷比例(本篇/廿二)
　　今附有三圜求别作一圜為斷比例亦以圜徑當
　　形邉依上法作之
　　四増題兩直線形求别作一形為連比例之中率
　　法曰甲與乙丙丁兩直線形求别作一形為連比
　　例之中率先作戊己庚直線形與甲等與乙丙丁
<pb:KR3f0047_WYG_006-89a>
　　　　　　　相似而體勢等(本篇/廿五)次求戊己乙丙
　　　　　　　兩直線連比例之中率為辛壬(本篇/十三)
　　　　　　　末于辛壬上作辛壬癸形與戊己乙
　　丙上形相似而體勢等(本篇/十八)即所求
　　　　　　論曰戊己辛壬乙丙三線既為連比例
　　　　　　即各線上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形
　　　　　　亦為連比例(本篇/廿二)
　　　　　　又法曰甲乙兩直線形求别作一形為
<pb:KR3f0047_WYG_006-89b>
　　連比例之中率先作丁丙己戊平行線形任直斜
　　　　　　角與甲等(一卷/四五)次作庚戊壬辛平行線
　　　　　　形與乙等與丁己形相似而體勢等(本/篇)
　　　　　　(廿/五)次置兩平行線形以戊角相聨而丁
　　　　　　戊戊壬為一直線即庚戊戊己亦一直
　　線(一卷十/五増)末從兩形引長各邉成丙子辛癸平行
　　線形即兩餘方形俱為丁己庚壬兩形之中率
　　論曰丁己庚壬兩形既相似而體勢等即丁戊與
<pb:KR3f0047_WYG_006-90a>
　　己戊之比例若戊壬與戊庚也更之即丁戊與戊
　　壬若己戊與戊庚也夫丁戊與戊壬兩線之比例
　　亦若丁己與戊癸兩形己戊與戊庚兩線之比例
　　又若戊癸與庚壬兩形則戊癸為丁己庚壬之中
　　率矣
　　又論曰丁己庚壬兩形既相似而體勢等即同依
　　丙辛對角線(本篇/廿六)而子戊戊癸兩餘方形自相等
　　則丁己與戊癸兩形之比例若子戊與庚壬兩形
<pb:KR3f0047_WYG_006-90b>
　　何者此兩比例皆若丁戊與戊壬也則子戊戊癸
　　皆丁己庚壬之中率也
　　今附若兩圜求作一圜為連比例之中率亦以圜
　　徑當形邉依上前法作之
　　五増一直線形求分作兩直線形俱與所設形相
　　似而體勢等其比例若所設兩幾何之比例
　　法曰甲直線形求分作兩直線形俱與所設丁形
　　相似而體勢等其比例若所設兩幾何如乙線與
<pb:KR3f0047_WYG_006-91a>
　　　　　　　丙線之比例先作戊己庚辛直線形
　　　　　　　與甲等與丁相似而體勢等(本篇/廿五)次
　　　　　　　任用其一邉如戊辛兩分之于壬令
　　　　　　　戊壬與壬辛之比例若乙與丙也(分/法)
　　(先以乙丙兩線聯為一直線次截/戊壬與壬辛若乙與丙見本篇十)次于戊辛上作
　　戊癸辛半圜次從壬作癸壬為戊辛之垂線次作
　　戊癸癸辛線相聨末于戊癸癸辛上作戊丑子癸
　　癸卯寅辛兩形與戊庚形俱相似而體勢等(本篇/十八)
<pb:KR3f0047_WYG_006-91b>
　　即此兩形并與甲等又各與丁相似而體勢等其
　　比例又若乙與丙
　　論曰戊癸辛既負半圜為直角(三卷/卅一)即戊子癸寅
　　兩形并與等戊庚之甲等(本篇/卅一)又戊壬與壬癸之
　　比例若戊癸與癸辛(俱在直角兩旁/故見本篇四)戊壬壬癸壬
　　辛三線為連比例即戊壬與壬辛為戊壬與壬癸
　　再加之比例(本篇八/之系)而戊子與癸寅兩形亦為戊
　　癸與癸辛兩相似邉再加之比例(本篇/二十)則戊壬與
<pb:KR3f0047_WYG_006-92a>
　　壬辛之比例亦若戊子與癸寅也(兩比例為兩同/理比例之再加)
　　(故/)夫戊壬與壬辛元若乙與丙也則戊子與癸寅
　　亦若乙與丙也
　　今附若一圜求分作兩圜其比例若所設兩幾何
　　亦以圜徑當形邉依上法作之
　　六増題一直線形求分作兩直線形俱與所設形
　　相似而體勢等其兩分形兩相似邉之比例若所
　　設兩幾何之比例
<pb:KR3f0047_WYG_006-92b>
　　　　　　　　法曰甲直線形求分作兩直線形
　　　　　　　　俱與所設丁形相似而體勢等其
　　　　　　　　兩分形兩相似邉之比例若所設
　　　　　　　　兩幾何如乙線與丙線之比例先
　　　　　　　　以乙與丙兩線求其連比例之末
　　率為戊(本篇/十一)次作己庚辛直線形與甲等與丁相
　　似而體勢等次任用其一邉如己辛兩分之于壬
　　令己壬與壬辛之比例若乙與戊也(本篇/十)次于己
<pb:KR3f0047_WYG_006-93a>
　　辛線上作己癸辛半圜次從壬作壬癸為己辛之
　　垂線次作己癸癸辛兩線相聨未于己癸癸辛上
　　作己子癸癸丑辛兩形俱與丁相似而體勢等即
　　此兩形并與等甲之己庚辛等而己癸癸辛兩相
　　似邉之比例若乙與丙
　　論曰己癸辛既負半圜為直角(三卷/卅)即己子癸癸
　　丑辛兩形并與等己庚辛之甲等(本篇/卅一)又己壬與
　　壬癸之比例若己癸與癸辛(俱在直角兩旁/故見本篇四)己壬
<pb:KR3f0047_WYG_006-93b>
　　壬癸壬辛三線為連比例即己壬與壬辛為己壬
　　與壬癸再加之比例(本篇八/之系)夫己壬與壬癸之比
　　　　　　　　例既若己子癸癸丑辛兩形相似
　　　　　　　　邉之己癸與癸辛而乙與戊元若
　　　　　　　　己壬與壬辛乙與戊元為乙與丙
　　　　　　　　再加之比例則己癸癸辛之比例
　　　　　　　　若乙與丙
　　今附若一圜求分作兩圜其兩圜徑之比例若所
<pb:KR3f0047_WYG_006-94a>
　　所設两幾何倣此
　　七増題兩直線形求并作一直線形與所設形相
　　似而體勢等
　　　　　　　法曰甲乙兩直線形求并作一形與
　　　　　　　所設丙形相似而體勢等先作戊丁
　　　　　　　己形與甲等作己庚辛形與乙等又
　　　　　　　各與丙相似而體勢等(本篇/廿五)次置兩
　　　　　　　形令相似之戊己己辛兩邉聨為直
<pb:KR3f0047_WYG_006-94b>
　　角次作戊辛線相聨末依戊辛線作戊辛壬與丙
　　相似而體勢等即與上兩形并等(本篇/卅一)如所求
　　又法曰作一平行方形與甲乙兩形并等(一卷/四五)次
　　作戊辛壬角形與平行方形等又與丙相似而體
　　勢等即所求
　　今附若兩圜求并作一圜亦以圜徑當形邉依上
　　法作之
　　八増題圜内兩合線交而相分其所分之線彼此
<pb:KR3f0047_WYG_006-95a>
　　互相視
　　　　　　解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁兩合
　　　　　　線交而相分于戊題言所分之甲戊戊
　　　　　　丙乙戊戊丁為互相視之線者謂甲戊
　　　　　　與戊丁若乙戊與戊丙也又甲戊與乙
　戊若戊丁與戊丙也
　論曰甲戊偕戊丙與乙戊偕戊丁兩矩内直角形等
　(三卷/卅五)即等角旁之兩邉為互相視之邉(本篇/十四)
<pb:KR3f0047_WYG_006-95b>
　　九増題圜外任取一㸃從㸃出兩直線皆割圜至
　　規内其兩全線與兩規外線彼此互相視若從㸃
　　作一切圜線則切圜線為各割圜全線與其規外
　　線之各中率
　　　　　　解曰甲乙丙丁圜外任取戊㸃從戊作
　　　　　　戊丁戊丙兩割圜至規内之線遇圜界于
　　　　　　甲于乙題言戊丙戊乙戊丁戊甲互相
　　　　　　視者謂戊丙與戊丁若戊甲與戊乙也
<pb:KR3f0047_WYG_006-96a>
　　又戊丙與戊甲若戊丁與戊乙也
　　論曰試從戊作戊己線切圜于己即戊丙偕戊乙
　　矩内直角形與戊己上直角方形等(三卷/卅六)又戊丁
　　　　　　偕戊甲矩内直角形與戊己上直角方
　　　　　　形亦等即戊丙偕戊乙與戊丁偕戊甲
　　　　　　兩矩内直角形自相等而等角旁之兩
　　　　　　邉為互相視之邉(本篇/十四)又戊丙偕戊乙
　　戊丁偕戊甲兩矩内直角形各與戊己上直角方
<pb:KR3f0047_WYG_006-96b>
　　形等(三卷/卅六)即戊丙戊己戊乙三線為連比例戊丁
　　戊己戊甲三線亦為連比例而戊己為各全線與
　　其規外線之各中率(本篇/十七)
　　十増題兩直線相遇作角從兩線之各一界互下
　　垂線而每方為兩線一自界至相遇處一自界至
　　垂線則各相對之兩線皆彼此互相視
　　解曰甲乙丙乙兩線相遇于乙作甲乙丙角從甲
　　作丙乙之垂線從丙作甲乙之垂線若甲乙丙為
<pb:KR3f0047_WYG_006-97a>
　　　　　　鈍角即如前圖兩垂線當至甲乙丙
　　　　　　乙之各引出線上為甲丁為丙戊其
　　　　　　甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙
　　　　　　丙為銳角即如後圖甲丁丙戊兩垂線
　　　　　　當在甲乙丙乙之内交而相分于己也
　　題言兩圖之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相視
　　者謂甲乙與乙丙若丁乙與乙戊也又甲乙與丁
　　乙若乙丙與乙戊也
<pb:KR3f0047_WYG_006-97b>
　　　　　　論曰甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙兩
　　　　　　角與丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙兩
　　　　　　角各等(兩為直角兩于前圗為/交角于後圗為同角故)即兩形
　　　　　　為等角形而甲乙與丁乙若乙丙與乙
　　　　　　戊也(本篇/四)更之則甲乙與乙丙若丁乙
　　與乙戊也
　　又論曰依前圗可推後圖之甲丁丙戊交而相分
　　于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相視蓋甲
<pb:KR3f0047_WYG_006-98a>
　　己戊丙己丁既為等角形即甲己與己戊若丙己
　　與己丁也(本篇/四)更之則甲己與丙己若己戊與己
　　丁也
　　十一増題平行線形内兩直線與兩邉平行相交
　　而分元形為四平行線形此四形任相與為比例皆
　　　　　等解曰甲乙丙丁平行線形内作戊己庚
　　　　　辛兩線與甲丁丁丙各平行而交于壬題
　　　　　言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相
<pb:KR3f0047_WYG_006-98b>
　　與為比例皆等
　　論曰戊壬與壬己兩線之比例既若戊庚與庚己
　　兩形(本篇/一)又若乙壬與壬丙兩形即戊庚與庚己
　　亦若乙壬與壬丙也(五卷/十二)依顯乙壬與戊庚亦若
　　壬丙與庚己也
　　十二増題凡四邉形之對角兩線交而相分其所
　　分四三角形任相與為比例皆等
　　解曰甲乙丙丁四邉形之甲丙乙丁兩對角線交
<pb:KR3f0047_WYG_006-99a>
　　　　　相分于戊題言所分甲戊丁乙戊丙甲戊
　　　　　乙丁戊丙四三角形任相與為比例皆等
　　　　　論曰甲戊與戊丙兩線之比例若甲戊丁
　　與丁戊丙兩角形又若甲戊乙與乙戊丙兩角形
　　(本篇/一)即甲戊丁與丁戊丙兩角形亦若甲戊乙與
　　乙戊丙也依顯甲戊乙與甲戊丁亦若乙戊丙與
　　丁戊丙也
　　十三増題三角形任于一邉任取一㸃從㸃求作
<pb:KR3f0047_WYG_006-99b>
　　一線分本形為兩形其兩形之比例若所設兩幾
　　何之比例
　　　　　　先法曰甲乙丙角形任于一邉如乙丙
　　　　　　上任取一㸃為丁求從丁作一線分本
　　　　　　形為兩形其兩形之比例若所設兩幾
　　　　　　何如戊線與己線之比例先以乙丙線
　　兩分之于庚令乙庚與庚丙之比例若戊與己(本/篇)
　　(十/)其庚與丁若同㸃即作丁甲線則乙丁與丁丙
<pb:KR3f0047_WYG_006-100a>
　　兩線之比例若乙丁甲與丁丙甲兩角形也(本篇/一)
　　是丁甲線所分兩形之比例若戊與己
　　　　　次法曰若庚在丁丙之内亦作丁甲線次
　　　　　從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛線
　　　　　相聨即丁辛線分本形為兩形其比例若
　　　　　戊與己者謂乙丁辛甲無法四邉形與丁
　　丙辛角之比例若乙庚與庚丙也亦若戊與己也
　　論曰試作庚甲線即辛庚甲庚辛丁兩角形等(一/卷)
<pb:KR3f0047_WYG_006-100b>
　　(卅/七)次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁兩角
　　形亦等則甲乙丙全形與丙庚甲角形之比例若
　　甲乙丙與丙辛丁也(五卷/七)分之則乙庚甲角形與
　　丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲無法四邉形與
　　丙辛丁角形也(五卷/十七)乙庚甲與丙庚甲兩角形之
　　比例既若乙庚與庚丙(本篇/一)則乙丁辛甲無法四
　　邉形與丙辛丁角形之比例亦若乙庚與庚丙也
　　則亦若戊與己也
<pb:KR3f0047_WYG_006-101a>
　　　　　後法曰若庚在乙丁之内亦作丁甲線次
　　　　　從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛線
　　　　　相聨即丁辛線分本形為兩形其比例若
　　　　　戊與己者謂乙丁辛角形與丁丙甲辛無
　　法四邉之比例若乙庚與庚丙也亦若戊與己也
　　論曰試作庚甲線如前推顯辛庚甲庚辛丁兩角
　　形等(一卷/卅七)次每加一乙庚辛角形即乙庚甲與乙
　　辛丁兩角形亦等則甲乙丙全形與乙庚甲角形
<pb:KR3f0047_WYG_006-101b>
　　　　　之比例若甲乙丙與乙辛丁也(五卷/七)分之
　　　　　則丙庚甲角形與乙庚甲角形之比例若
　　　　　丁丙甲辛無法四邉形與乙辛丁角形也
　　　　　(五卷/十七)反之則乙庚甲角形與丙庚甲角形
　　之比例若乙辛丁角形與丁丙甲辛無法四邉形
　　也乙庚甲與丙庚甲之比例既若乙庚與庚丙(本/篇)
　　　則乙丁辛角形與丁丙甲辛無法四邉形之比
　　例亦若乙庚與庚丙也則亦若戊與己也
<pb:KR3f0047_WYG_006-102a>
　　系凡角形任于一邉任取一㸃從㸃求減命分之
　　一如前法作多倍大之比例即得其所作倍數每
　　少于命分之一如求減四分之一即作三倍大之
　　比例減五分之一即作四倍大之比例也則全形
　　與所減分之比例其倍數若命分之數也
　　十四増題一直線形求别作一直線形相似而體
　　勢等其小大之比例如所設兩幾何之比例
　　法曰甲直線形求别作直線形相似而體勢等其
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　　　　　　　甲形與所作形小大之比例若所設
　　　　　　　兩幾何如乙與丙兩線之比例先以
　　　　　　　乙丙及任用甲之一邉如丁戊三線
　　　　　　　求其斷比例之末率為己(本篇/十二)次求
　　　　　　　丁戊及己之中率線為庚辛(本篇/十三)末
　　　　　　　從庚辛上作壬直線形與甲相似而
　　　　　　　體勢等即甲與壬之比例若乙與丙
　　　　　　　論曰丁戊庚辛己三線為連比例即
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　　　　　　　一丁戊與三己之比例若相似而體
　　　　　　　勢等之甲與壬(本篇十九/二十之系)
　　　　　　　若先設大甲求作小壬若乙與丙其
　　　　　　　法同如上圗
　　用此法可依此直線形加作兩倍大三倍四五倍
　　大以至無窮之他形亦可依此直線形減作二分
　　之一三分四五分之一以至無窮之他形其此形
　　與他形皆相似而體勢等
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　　　　　　有用法作直角方形平行線形及各形
　　　　　　之相加相減者如甲乙丙丁直角方形
　　　　　　求别作五倍大之他形先以甲乙線引
　　　　　　長之以甲乙為度截取五分至戊令乙
　　　　　　至戊五倍大于甲乙也次以甲戊兩平
　　　　　　分于己次以己為心甲戊為界作甲庚
　　戊半圜其乙丙線直行遇圜界于庚即乙庚為所
　　求方形之一邉也末作乙庚辛己直角方形即五
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　　　　　　倍大于甲丙向者乙庚既為戊乙乙甲
　　　　　　之中率線(本篇十/三之系)即一戊乙與三乙甲
　　　　　　之比例若二庚乙上直角方形與三甲
　　　　　　乙上直角方形之比例也(本篇二/十之系)戊乙
　　　　　　既五倍于乙甲則乙辛亦五倍于甲丙
　　　　　　若戊乙為乙甲之六倍則乙辛亦甲丙
　　之六倍若戊乙為乙甲三分之一則乙辛亦甲丙
　　三分之一相加相減倣此以至無窮如甲乙丙丁
<pb:KR3f0047_WYG_006-104b>
　　平行直角形求别作二倍大之他形相似而體勢
　　等先以甲乙線引長之以甲乙為度截取二分至
　　　　　　　戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以
　　　　　　　甲戊兩平分于己次以己為心甲戊
　　　　　　　為界作甲庚戊半圜其丙乙線直行
　　　　　　　遇圜界于庚即乙庚為所求直角形
　　之一邉也次于甲戊線上截取甲辛與乙庚等從
　　辛作辛壬線與乙丙平行次作甲丙對角線引長
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　　之與辛壬線遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸
　　平行直角形即二倍大于甲丙又相似而體勢等
　　何者戊乙乙庚乙甲三線既為連比例(本篇十/三之系)如
　　前論一戊乙與三乙甲之比例若二等乙庚之甲
　　辛上平行直角形甲壬與三甲乙上平行直角形
　　甲丙也(本篇二/十之系)戊乙既二倍于甲乙則甲壬亦二
　　倍于甲丙
　　用此法凡甲乙上不論何等形與乙庚上形相似
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　　而體勢等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形
　　相加相減俱倣此以至無窮
　　今附若用前法作圜則乙庚徑上圜亦二倍大于
　　甲乙徑上圜相加相減倣此以至無窮
　　以上用法與本増題同但此用法隨作隨得中率
　　線不費尋求致為簡易耳
　　十五増題諸三角形求作内切直角方形
　　法曰如甲乙丙銳角形求作内切直角方形先從
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　　　　　　　　　甲角作甲丁為乙丙之垂線次
　　　　　　　　　以甲丁線兩分于戊令甲戊與
　　　　　　　　　戊丁之比例若甲丁與乙丙(本/篇)
　　　　　　　　　(十一/増題)末從戊作己庚線與乙丙
　　　　　　　　　平行從己從庚作己辛庚壬兩
　　　　　　　　　線皆與戊丁平行即得己壬形
　　如所求若直角鈍角形則從直角鈍角作垂線餘
　　法同(如第二第/三圗是)
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　　論曰己戊庚線既與乙丙平行即乙丁與丁丙若
　　己戊與戊庚也(本篇四/之増題)合之即乙丙與丁丙若己
　　　　　　　　　庚與戊庚也又丁丙與甲丁若
　　　　　　　　　戊庚與甲戊(甲丁丙與甲戊庚/為等角形故見本)
　　　　　　　　　(篇四/之系)平之即乙丙與甲丁若己
　　　　　　　　　庚與甲戊也又甲丁與乙丙若
　　　　　　　　　甲戊與戊丁平之即乙丙與乙
　　　　　　　　　丙若己庚與戊丁也乙丙與乙
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　　丙同線必等即己庚與戊丁必等而己庚與辛壬
　　又等(一卷/卅四)戊丁與己辛庚壬亦等則己庚庚壬壬
　　辛辛己四邉俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦
　　直角(一卷/廿九)其餘亦皆直角而己壬為直角方形
　　　　　　　又法曰若直角三邉形求依乙角作
　　　　　　　内切直角方形則以垂線甲乙兩分
　　　　　　　于丁令甲丁與丁乙之比例若甲乙
　　與乙丙(本篇/十)次從丁作丁戊直線與乙丙平行從
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　　戊作戊己直線與甲乙平行即得丁己形如所求
　　論曰乙丙與甲乙既若丁戊與甲丁(甲乙丙甲丁/戊為等角形)
　　(故見本篇/四之系)而甲乙與乙丙又若甲丁與丁乙平之
　　即乙丙與乙丙若丁戊與丁乙也乙丙與乙丙同
　　線必等即丁戊與丁乙必等而丁己為直角方形
　　今附如上三邉直角形依乙角作内切直角方形
　　其方形邉必為甲丁己丙兩分餘邉之中率何者
　　甲丁與丁戊若戊己與己丙故(本篇四/之系)
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　幾何原本卷六

